Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36283 / 105215
↖ ↑ ↗
← S 73.021789°
W 80.345764°		 ← 89.17 m → S 73.021789°
W 80.343018°		 →
↑
89.19 m
↓
↑
89.19 m
↓
S 73.022592°
W 80.345764°		 ← 89.16 m →
7 953 m²		 S 73.022592°
W 80.343018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276821136474609 y=0.802730560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276821136474609 × 217)
    floor (0.276821136474609 × 131072)
    floor (36283.5)     		tx = 36283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802730560302734 × 217)
    floor (0.802730560302734 × 131072)
    floor (105215.5)     		ty = 105215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36283 / 105215 ti = "17/36283/105215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36283/105215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36283 ÷ 217
    36283 ÷ 131072     		x = 0.276817321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105215 ÷ 217
    105215 ÷ 131072     		y = 0.802726745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276817321777344 × 2 - 1) × π
    -0.446365356445312 × 3.1415926535     		Λ = -1.40229812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802726745605469 × 2 - 1) × π
    -0.605453491210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.90208824002421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40229812} λ = -1.40229812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90208824002421))-π/2
    2×atan(0.149256609934134)-π/2
    2×0.148162836593434-π/2
    0.296325673186868-1.57079632675     		φ = -1.27447065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40229812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.345764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27447065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.021789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36283 KachelY 105215 -1.40229812 -1.27447065 -80.345764 -73.021789
    Oben rechts KachelX + 1 36284 KachelY 105215 -1.40225019 -1.27447065 -80.343018 -73.021789
    Unten links KachelX 36283 KachelY + 1 105216 -1.40229812 -1.27448465 -80.345764 -73.022592
    Unten rechts KachelX + 1 36284 KachelY + 1 105216 -1.40225019 -1.27448465 -80.343018 -73.022592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27447065--1.27448465) × R
    1.39999999999585e-05 × 6371000     		dl = 89.1939999997355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27447065--1.27448465) × R
    1.39999999999585e-05 × 6371000     		dr = 89.1939999997355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40229812--1.40225019) × cos(-1.27447065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292008004673678 × 6371000     		do = 89.1681570834584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40229812--1.40225019) × cos(-1.27448465) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291994614822817 × 6371000     		du = 89.1640683314181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27447065)-sin(-1.27448465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292008004673678-0.291994614822817)×R²
    abs(-1.40225019--1.40229812)×1.33898508608565e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33898508608565e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33898508608565e-05×40589641000000     		ar = 7953.08225689867m²