Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36282 / 105214
↖ ↑ ↗
← S 73.020988°
W 80.348511°		 ← 89.19 m → S 73.020988°
W 80.345764°		 →
↑
89.13 m
↓
↑
89.13 m
↓
S 73.021789°
W 80.348511°		 ← 89.19 m →
7 949 m²		 S 73.021789°
W 80.345764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276813507080078 y=0.802722930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276813507080078 × 217)
    floor (0.276813507080078 × 131072)
    floor (36282.5)     		tx = 36282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802722930908203 × 217)
    floor (0.802722930908203 × 131072)
    floor (105214.5)     		ty = 105214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36282 / 105214 ti = "17/36282/105214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36282/105214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36282 ÷ 217
    36282 ÷ 131072     		x = 0.276809692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105214 ÷ 217
    105214 ÷ 131072     		y = 0.802719116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276809692382812 × 2 - 1) × π
    -0.446380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40234606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802719116210938 × 2 - 1) × π
    -0.605438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90204030312459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40234606} λ = -1.40234606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90204030312459))-π/2
    2×atan(0.149263765004756)-π/2
    2×0.148169835733001-π/2
    0.296339671466002-1.57079632675     		φ = -1.27445666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40234606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.348511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27445666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.020988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36282 KachelY 105214 -1.40234606 -1.27445666 -80.348511 -73.020988
    Oben rechts KachelX + 1 36283 KachelY 105214 -1.40229812 -1.27445666 -80.345764 -73.020988
    Unten links KachelX 36282 KachelY + 1 105215 -1.40234606 -1.27447065 -80.348511 -73.021789
    Unten rechts KachelX + 1 36283 KachelY + 1 105215 -1.40229812 -1.27447065 -80.345764 -73.021789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27445666--1.27447065) × R
    1.39900000000193e-05 × 6371000     		dl = 89.1302900001227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27445666--1.27447065) × R
    1.39900000000193e-05 × 6371000     		dr = 89.1302900001227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40234606--1.40229812) × cos(-1.27445666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292021384903187 × 6371000     		do = 89.1908475798223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40234606--1.40229812) × cos(-1.27447065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292008004673678 × 6371000     		du = 89.1867609133231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27445666)-sin(-1.27447065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292021384903187-0.292008004673678)×R²
    abs(-1.40229812--1.40234606)×1.33802295094188e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33802295094188e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33802295094188e-05×40589641000000     		ar = 7949.42398738153m²