Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36281 / 105177
↖ ↑ ↗
← S 72.991286°
W 80.351257°		 ← 89.34 m → S 72.991286°
W 80.348511°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 72.992090°
W 80.351257°		 ← 89.34 m →
7 980 m²		 S 72.992090°
W 80.348511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276805877685547 y=0.802440643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276805877685547 × 217)
    floor (0.276805877685547 × 131072)
    floor (36281.5)     		tx = 36281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802440643310547 × 217)
    floor (0.802440643310547 × 131072)
    floor (105177.5)     		ty = 105177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36281 / 105177 ti = "17/36281/105177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36281/105177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36281 ÷ 217
    36281 ÷ 131072     		x = 0.276802062988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105177 ÷ 217
    105177 ÷ 131072     		y = 0.802436828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276802062988281 × 2 - 1) × π
    -0.446395874023438 × 3.1415926535     		Λ = -1.40239400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802436828613281 × 2 - 1) × π
    -0.604873657226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.90026663783865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40239400} λ = -1.40239400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90026663783865))-π/2
    2×atan(0.149528743885649)-π/2
    2×0.14842902960212-π/2
    0.296858059204241-1.57079632675     		φ = -1.27393827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40239400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.351257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27393827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.991286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36281 KachelY 105177 -1.40239400 -1.27393827 -80.351257 -72.991286
    Oben rechts KachelX + 1 36282 KachelY 105177 -1.40234606 -1.27393827 -80.348511 -72.991286
    Unten links KachelX 36281 KachelY + 1 105178 -1.40239400 -1.27395229 -80.351257 -72.992090
    Unten rechts KachelX + 1 36282 KachelY + 1 105178 -1.40234606 -1.27395229 -80.348511 -72.992090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27393827--1.27395229) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27393827--1.27395229) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40239400--1.40234606) × cos(-1.27393827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292517139951261 × 6371000     		do = 89.342263932239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40239400--1.40234606) × cos(-1.27395229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292503733153389 × 6371000     		du = 89.3381691510779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27393827)-sin(-1.27395229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292517139951261-0.292503733153389)×R²
    abs(-1.40234606--1.40239400)×1.34067978718733e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34067978718733e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34067978718733e-05×40589641000000     		ar = 7979.99500474338m²