Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3628 / 3029
↖ ↑ ↗
← N 74.277610°
W100.283203°		 ← 662.07 m → N 74.277610°
W100.261230°		 →
↑
662.14 m
↓
↑
662.14 m
↓
N 74.271656°
W100.283203°		 ← 662.32 m →
438 464 m²		 N 74.271656°
W100.261230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221466064453125 y=0.184906005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221466064453125 × 214)
    floor (0.221466064453125 × 16384)
    floor (3628.5)     		tx = 3628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.184906005859375 × 214)
    floor (0.184906005859375 × 16384)
    floor (3029.5)     		ty = 3029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3628 / 3029 ti = "14/3628/3029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3628/3029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3628 ÷ 214
    3628 ÷ 16384     		x = 0.221435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3029 ÷ 214
    3029 ÷ 16384     		y = 0.18487548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221435546875 × 2 - 1) × π
    -0.55712890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75027208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18487548828125 × 2 - 1) × π
    0.6302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.9799857019068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75027208} λ = -1.75027208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9799857019068))-π/2
    2×atan(7.24263942848712)-π/2
    2×1.43359259519942-π/2
    2.86718519039884-1.57079632675     		φ = 1.29638886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75027208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29638886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.277610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3628 KachelY 3029 -1.75027208 1.29638886 -100.283203 74.277610
    Oben rechts KachelX + 1 3629 KachelY 3029 -1.74988858 1.29638886 -100.261230 74.277610
    Unten links KachelX 3628 KachelY + 1 3030 -1.75027208 1.29628493 -100.283203 74.271656
    Unten rechts KachelX + 1 3629 KachelY + 1 3030 -1.74988858 1.29628493 -100.261230 74.271656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29638886-1.29628493) × R
    0.000103930000000085 × 6371000     		dl = 662.138030000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29638886-1.29628493) × R
    0.000103930000000085 × 6371000     		dr = 662.138030000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75027208--1.74988858) × cos(1.29638886) × R
    0.000383500000000092 × 0.270976620432994 × 6371000     		do = 662.071350706754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75027208--1.74988858) × cos(1.29628493) × R
    0.000383500000000092 × 0.271076660524971 × 6371000     		du = 662.315776512619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29638886)-sin(1.29628493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.270976620432994-0.271076660524971)×R²
    abs(-1.74988858--1.75027208)×0.000100040091976783×R²
    0.000383500000000092×0.000100040091976783×6371000²
    0.000383500000000092×0.000100040091976783×40589641000000     		ar = 438463.542082116m²