Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36279 / 38615
↖ ↑ ↗
← S 30.557531°
E 19.286499°		 ← 525.96 m → S 30.557531°
E 19.291992°		 →
↑
525.99 m
↓
↑
525.99 m
↓
S 30.562261°
E 19.286499°		 ← 525.94 m →
276 643 m²		 S 30.562261°
E 19.291992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553581237792969 y=0.589225769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553581237792969 × 216)
    floor (0.553581237792969 × 65536)
    floor (36279.5)     		tx = 36279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589225769042969 × 216)
    floor (0.589225769042969 × 65536)
    floor (38615.5)     		ty = 38615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36279 / 38615 ti = "16/36279/38615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36279/38615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36279 ÷ 216
    36279 ÷ 65536     		x = 0.553573608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38615 ÷ 216
    38615 ÷ 65536     		y = 0.589218139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553573608398438 × 2 - 1) × π
    0.107147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33661291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589218139648438 × 2 - 1) × π
    -0.178436279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.560574104156937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33661291} λ = 0.33661291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560574104156937))-π/2
    2×atan(0.57088122446676)-π/2
    2×0.518733401558477-π/2
    1.03746680311695-1.57079632675     		φ = -0.53332952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33661291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.286499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53332952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.557531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36279 KachelY 38615 0.33661291 -0.53332952 19.286499 -30.557531
    Oben rechts KachelX + 1 36280 KachelY 38615 0.33670878 -0.53332952 19.291992 -30.557531
    Unten links KachelX 36279 KachelY + 1 38616 0.33661291 -0.53341208 19.286499 -30.562261
    Unten rechts KachelX + 1 36280 KachelY + 1 38616 0.33670878 -0.53341208 19.291992 -30.562261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53332952--0.53341208) × R
    8.25599999999538e-05 × 6371000     		dl = 525.989759999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53332952--0.53341208) × R
    8.25599999999538e-05 × 6371000     		dr = 525.989759999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33661291-0.33670878) × cos(-0.53332952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861119107847197 × 6371000     		do = 525.961019586367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33661291-0.33670878) × cos(-0.53341208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861077131138744 × 6371000     		du = 525.93538072622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53332952)-sin(-0.53341208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861119107847197-0.861077131138744)×R²
    abs(0.33670878-0.33661291)×4.1976708452518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1976708452518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1976708452518e-05×40589641000000     		ar = 276643.367729779m²