Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36279 / 104679
↖ ↑ ↗
← S 72.586583°
W 80.356750°		 ← 91.38 m → S 72.586583°
W 80.354004°		 →
↑
91.42 m
↓
↑
91.42 m
↓
S 72.587405°
W 80.356750°		 ← 91.38 m →
8 354 m²		 S 72.587405°
W 80.354004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276790618896484 y=0.798641204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276790618896484 × 217)
    floor (0.276790618896484 × 131072)
    floor (36279.5)     		tx = 36279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798641204833984 × 217)
    floor (0.798641204833984 × 131072)
    floor (104679.5)     		ty = 104679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36279 / 104679 ti = "17/36279/104679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36279/104679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36279 ÷ 217
    36279 ÷ 131072     		x = 0.276786804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104679 ÷ 217
    104679 ÷ 131072     		y = 0.798637390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276786804199219 × 2 - 1) × π
    -0.446426391601562 × 3.1415926535     		Λ = -1.40248987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798637390136719 × 2 - 1) × π
    -0.597274780273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.87639406182786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40248987} λ = -1.40248987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87639406182786))-π/2
    2×atan(0.15314132948598)-π/2
    2×0.151960727719264-π/2
    0.303921455438528-1.57079632675     		φ = -1.26687487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40248987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.356750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26687487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.586583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36279 KachelY 104679 -1.40248987 -1.26687487 -80.356750 -72.586583
    Oben rechts KachelX + 1 36280 KachelY 104679 -1.40244194 -1.26687487 -80.354004 -72.586583
    Unten links KachelX 36279 KachelY + 1 104680 -1.40248987 -1.26688922 -80.356750 -72.587405
    Unten rechts KachelX + 1 36280 KachelY + 1 104680 -1.40244194 -1.26688922 -80.354004 -72.587405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26687487--1.26688922) × R
    1.43499999998298e-05 × 6371000     		dl = 91.4238499989155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26687487--1.26688922) × R
    1.43499999998298e-05 × 6371000     		dr = 91.4238499989155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40248987--1.40244194) × cos(-1.26687487) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.299264235600495 × 6371000     		do = 91.383934488998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40248987--1.40244194) × cos(-1.26688922) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.29925054322621 × 6371000     		du = 91.3797533577908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26687487)-sin(-1.26688922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299264235600495-0.29925054322621)×R²
    abs(-1.40244194--1.40248987)×1.3692374285279e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.3692374285279e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.3692374285279e-05×40589641000000     		ar = 8354.47999161676m²