Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36278 / 104678
↖ ↑ ↗
← S 72.585762°
W 80.359497°		 ← 91.41 m → S 72.585762°
W 80.356750°		 →
↑
91.36 m
↓
↑
91.36 m
↓
S 72.586583°
W 80.359497°		 ← 91.40 m →
8 351 m²		 S 72.586583°
W 80.356750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276782989501953 y=0.798633575439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276782989501953 × 217)
    floor (0.276782989501953 × 131072)
    floor (36278.5)     		tx = 36278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798633575439453 × 217)
    floor (0.798633575439453 × 131072)
    floor (104678.5)     		ty = 104678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36278 / 104678 ti = "17/36278/104678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36278/104678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36278 ÷ 217
    36278 ÷ 131072     		x = 0.276779174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104678 ÷ 217
    104678 ÷ 131072     		y = 0.798629760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276779174804688 × 2 - 1) × π
    -0.446441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40253781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798629760742188 × 2 - 1) × π
    -0.597259521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87634612492824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40253781} λ = -1.40253781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87634612492824))-π/2
    2×atan(0.153148670782477)-π/2
    2×0.15196790078309-π/2
    0.30393580156618-1.57079632675     		φ = -1.26686053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40253781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.359497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26686053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.585762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36278 KachelY 104678 -1.40253781 -1.26686053 -80.359497 -72.585762
    Oben rechts KachelX + 1 36279 KachelY 104678 -1.40248987 -1.26686053 -80.356750 -72.585762
    Unten links KachelX 36278 KachelY + 1 104679 -1.40253781 -1.26687487 -80.359497 -72.586583
    Unten rechts KachelX + 1 36279 KachelY + 1 104679 -1.40248987 -1.26687487 -80.356750 -72.586583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26686053--1.26687487) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dl = 91.3601400007174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26686053--1.26687487) × R
    1.43400000001126e-05 × 6371000     		dr = 91.3601400007174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40253781--1.40248987) × cos(-1.26686053) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.299277918371495 × 6371000     		do = 91.407179684637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40253781--1.40248987) × cos(-1.26687487) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.299264235600495 × 6371000     		du = 91.4030006141789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26686053)-sin(-1.26687487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299277918371495-0.299264235600495)×R²
    abs(-1.40248987--1.40253781)×1.3682771000445e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.3682771000445e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.3682771000445e-05×40589641000000     		ar = 8350.78183283708m²