Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36277 / 48454
↖ ↑ ↗
← S 64.937507°
E 19.275513°		 ← 258.76 m → S 64.937507°
E 19.281006°		 →
↑
258.73 m
↓
↑
258.73 m
↓
S 64.939834°
E 19.275513°		 ← 258.74 m →
66 945 m²		 S 64.939834°
E 19.281006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553550720214844 y=0.739356994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553550720214844 × 216)
    floor (0.553550720214844 × 65536)
    floor (36277.5)     		tx = 36277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739356994628906 × 216)
    floor (0.739356994628906 × 65536)
    floor (48454.5)     		ty = 48454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36277 / 48454 ti = "16/36277/48454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36277/48454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36277 ÷ 216
    36277 ÷ 65536     		x = 0.553543090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48454 ÷ 216
    48454 ÷ 65536     		y = 0.739349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553543090820312 × 2 - 1) × π
    0.107086181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33642116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.47869873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5038764148804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33642116} λ = 0.33642116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5038764148804))-π/2
    2×atan(0.222266889354242)-π/2
    2×0.218711510620636-π/2
    0.437423021241271-1.57079632675     		φ = -1.13337331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33642116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.275513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13337331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.937507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36277 KachelY 48454 0.33642116 -1.13337331 19.275513 -64.937507
    Oben rechts KachelX + 1 36278 KachelY 48454 0.33651704 -1.13337331 19.281006 -64.937507
    Unten links KachelX 36277 KachelY + 1 48455 0.33642116 -1.13341392 19.275513 -64.939834
    Unten rechts KachelX + 1 36278 KachelY + 1 48455 0.33651704 -1.13341392 19.281006 -64.939834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13337331--1.13341392) × R
    4.06099999998855e-05 × 6371000     		dl = 258.72630999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13337331--1.13341392) × R
    4.06099999998855e-05 × 6371000     		dr = 258.72630999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33642116-0.33651704) × cos(-1.13337331) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.42360652350799 × 6371000     		do = 258.76067182249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33642116-0.33651704) × cos(-1.13341392) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423569736740591 × 6371000     		du = 258.738200571181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13337331)-sin(-1.13341392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42360652350799-0.423569736740591)×R²
    abs(0.33651704-0.33642116)×3.6786767398711e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.6786767398711e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.6786767398711e-05×40589641000000     		ar = 66945.2868505203m²