Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36276 / 105172
↖ ↑ ↗
← S 72.987269°
W 80.364990°		 ← 89.34 m → S 72.987269°
W 80.362244°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 72.988072°
W 80.364990°		 ← 89.34 m →
7 980 m²		 S 72.988072°
W 80.362244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276767730712891 y=0.802402496337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276767730712891 × 217)
    floor (0.276767730712891 × 131072)
    floor (36276.5)     		tx = 36276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802402496337891 × 217)
    floor (0.802402496337891 × 131072)
    floor (105172.5)     		ty = 105172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36276 / 105172 ti = "17/36276/105172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36276/105172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36276 ÷ 217
    36276 ÷ 131072     		x = 0.276763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105172 ÷ 217
    105172 ÷ 131072     		y = 0.802398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.44647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40263368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.60479736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90002695334055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40263368} λ = -1.40263368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90002695334055))-π/2
    2×atan(0.149564587903035)-π/2
    2×0.148464089532033-π/2
    0.296928179064066-1.57079632675     		φ = -1.27386815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40263368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.364990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27386815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.987269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36276 KachelY 105172 -1.40263368 -1.27386815 -80.364990 -72.987269
    Oben rechts KachelX + 1 36277 KachelY 105172 -1.40258575 -1.27386815 -80.362244 -72.987269
    Unten links KachelX 36276 KachelY + 1 105173 -1.40263368 -1.27388217 -80.364990 -72.988072
    Unten rechts KachelX + 1 36277 KachelY + 1 105173 -1.40258575 -1.27388217 -80.362244 -72.988072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27386815--1.27388217) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27386815--1.27388217) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40263368--1.40258575) × cos(-1.27386815) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292584192202904 × 6371000     		do = 89.3441028770435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40263368--1.40258575) × cos(-1.27388217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292570785692627 × 6371000     		du = 89.3400090378501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27386815)-sin(-1.27388217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292584192202904-0.292570785692627)×R²
    abs(-1.40258575--1.40263368)×1.34065102770364e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34065102770364e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34065102770364e-05×40589641000000     		ar = 7980.15930395345m²