Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36276 / 102571
↖ ↑ ↗
← S 70.767920°
W 80.364990°		 ← 100.58 m → S 70.767920°
W 80.362244°		 →
↑
100.60 m
↓
↑
100.60 m
↓
S 70.768825°
W 80.364990°		 ← 100.58 m →
10 118 m²		 S 70.768825°
W 80.362244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276767730712891 y=0.782558441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276767730712891 × 217)
    floor (0.276767730712891 × 131072)
    floor (36276.5)     		tx = 36276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782558441162109 × 217)
    floor (0.782558441162109 × 131072)
    floor (102571.5)     		ty = 102571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36276 / 102571 ti = "17/36276/102571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36276/102571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36276 ÷ 217
    36276 ÷ 131072     		x = 0.276763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102571 ÷ 217
    102571 ÷ 131072     		y = 0.782554626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.44647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40263368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782554626464844 × 2 - 1) × π
    -0.565109252929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.77534307742878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40263368} λ = -1.40263368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77534307742878))-π/2
    2×atan(0.169425313526535)-π/2
    2×0.16783155962899-π/2
    0.33566311925798-1.57079632675     		φ = -1.23513321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40263368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.364990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23513321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.767920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36276 KachelY 102571 -1.40263368 -1.23513321 -80.364990 -70.767920
    Oben rechts KachelX + 1 36277 KachelY 102571 -1.40258575 -1.23513321 -80.362244 -70.767920
    Unten links KachelX 36276 KachelY + 1 102572 -1.40263368 -1.23514900 -80.364990 -70.768825
    Unten rechts KachelX + 1 36277 KachelY + 1 102572 -1.40258575 -1.23514900 -80.362244 -70.768825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23513321--1.23514900) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dl = 100.598089999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23513321--1.23514900) × R
    1.578999999996e-05 × 6371000     		dr = 100.598089999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40263368--1.40258575) × cos(-1.23513321) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329395351881772 × 6371000     		do = 100.584833323244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40263368--1.40258575) × cos(-1.23514900) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.329380443047614 × 6371000     		du = 100.58028073138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23513321)-sin(-1.23514900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329395351881772-0.329380443047614)×R²
    abs(-1.40258575--1.40263368)×1.49088341580561e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49088341580561e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49088341580561e-05×40589641000000     		ar = 10118.4131245064m²