Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36275 / 105173
↖ ↑ ↗
← S 72.988072°
W 80.367737°		 ← 89.36 m → S 72.988072°
W 80.364990°		 →
↑
89.39 m
↓
↑
89.39 m
↓
S 72.988876°
W 80.367737°		 ← 89.35 m →
7 987 m²		 S 72.988876°
W 80.364990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276760101318359 y=0.802410125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276760101318359 × 217)
    floor (0.276760101318359 × 131072)
    floor (36275.5)     		tx = 36275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802410125732422 × 217)
    floor (0.802410125732422 × 131072)
    floor (105173.5)     		ty = 105173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36275 / 105173 ti = "17/36275/105173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36275/105173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36275 ÷ 217
    36275 ÷ 131072     		x = 0.276756286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105173 ÷ 217
    105173 ÷ 131072     		y = 0.802406311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276756286621094 × 2 - 1) × π
    -0.446487426757812 × 3.1415926535     		Λ = -1.40268162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802406311035156 × 2 - 1) × π
    -0.604812622070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.90007489024017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40268162} λ = -1.40268162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90007489024017))-π/2
    2×atan(0.149557418412241)-π/2
    2×0.148457076903183-π/2
    0.296914153806366-1.57079632675     		φ = -1.27388217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40268162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.367737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27388217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.988072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36275 KachelY 105173 -1.40268162 -1.27388217 -80.367737 -72.988072
    Oben rechts KachelX + 1 36276 KachelY 105173 -1.40263368 -1.27388217 -80.364990 -72.988072
    Unten links KachelX 36275 KachelY + 1 105174 -1.40268162 -1.27389620 -80.367737 -72.988876
    Unten rechts KachelX + 1 36276 KachelY + 1 105174 -1.40263368 -1.27389620 -80.364990 -72.988876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27388217--1.27389620) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dl = 89.3851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27388217--1.27389620) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dr = 89.3851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40268162--1.40263368) × cos(-1.27388217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292570785692627 × 6371000     		do = 89.3586487224933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40268162--1.40263368) × cos(-1.27389620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292557369562362 × 6371000     		du = 89.3545510909793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27388217)-sin(-1.27389620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292570785692627-0.292557369562362)×R²
    abs(-1.40263368--1.40268162)×1.34161302645652e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34161302645652e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34161302645652e-05×40589641000000     		ar = 7987.1512990553m²