Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36275 / 104673
↖ ↑ ↗
← S 72.581651°
W 80.367737°		 ← 91.43 m → S 72.581651°
W 80.364990°		 →
↑
91.42 m
↓
↑
91.42 m
↓
S 72.582473°
W 80.367737°		 ← 91.42 m →
8 359 m²		 S 72.582473°
W 80.364990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276760101318359 y=0.798595428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276760101318359 × 217)
    floor (0.276760101318359 × 131072)
    floor (36275.5)     		tx = 36275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798595428466797 × 217)
    floor (0.798595428466797 × 131072)
    floor (104673.5)     		ty = 104673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36275 / 104673 ti = "17/36275/104673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36275/104673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36275 ÷ 217
    36275 ÷ 131072     		x = 0.276756286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104673 ÷ 217
    104673 ÷ 131072     		y = 0.798591613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276756286621094 × 2 - 1) × π
    -0.446487426757812 × 3.1415926535     		Λ = -1.40268162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798591613769531 × 2 - 1) × π
    -0.597183227539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.87610644043014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40268162} λ = -1.40268162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87610644043014))-π/2
    2×atan(0.153185382544213)-π/2
    2×0.152003771024018-π/2
    0.304007542048036-1.57079632675     		φ = -1.26678878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40268162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.367737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26678878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.581651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36275 KachelY 104673 -1.40268162 -1.26678878 -80.367737 -72.581651
    Oben rechts KachelX + 1 36276 KachelY 104673 -1.40263368 -1.26678878 -80.364990 -72.581651
    Unten links KachelX 36275 KachelY + 1 104674 -1.40268162 -1.26680313 -80.367737 -72.582473
    Unten rechts KachelX + 1 36276 KachelY + 1 104674 -1.40263368 -1.26680313 -80.364990 -72.582473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26678878--1.26680313) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dl = 91.4238500003301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26678878--1.26680313) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dr = 91.4238500003301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40268162--1.40263368) × cos(-1.26678878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299346379010534 × 6371000     		do = 91.4280893255529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40268162--1.40263368) × cos(-1.26680313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299332687005999 × 6371000     		du = 91.4239074349358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26678878)-sin(-1.26680313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299346379010534-0.299332687005999)×R²
    abs(-1.40263368--1.40268162)×1.36920045347155e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36920045347155e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36920045347155e-05×40589641000000     		ar = 8358.51676216879m²