Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36275 / 104672
S 72.580828°
W 80.367737°
← 91.43 m → S 72.580828°
W 80.364990°

91.42 m

91.42 m
S 72.581651°
W 80.367737°
← 91.43 m →
8 359 m²
S 72.581651°
W 80.364990°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276760101318359 y=0.798587799072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276760101318359 × 217)
    floor (0.276760101318359 × 131072)
    floor (36275.5)
    tx = 36275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798587799072266 × 217)
    floor (0.798587799072266 × 131072)
    floor (104672.5)
    ty = 104672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36275 / 104672 ti = "17/36275/104672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36275/104672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36275 ÷ 217
    36275 ÷ 131072
    x = 0.276756286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104672 ÷ 217
    104672 ÷ 131072
    y = 0.798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.276756286621094 × 2 - 1) × π
    -0.446487426757812 × 3.1415926535
    Λ = -1.40268162
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.59716796875 × 3.1415926535
    Φ = -1.87605850353052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40268162} λ = -1.40268162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87605850353052))-π/2
    2×atan(0.153192725952528)-π/2
    2×0.152010946056657-π/2
    0.304021892113315-1.57079632675
    φ = -1.26677443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40268162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.367737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26677443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.580828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36275 KachelY 104672 -1.40268162 -1.26677443 -80.367737 -72.580828
    Oben rechts KachelX + 1 36276 KachelY 104672 -1.40263368 -1.26677443 -80.364990 -72.580828
    Unten links KachelX 36275 KachelY + 1 104673 -1.40268162 -1.26678878 -80.367737 -72.581651
    Unten rechts KachelX + 1 36276 KachelY + 1 104673 -1.40263368 -1.26678878 -80.364990 -72.581651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.26677443--1.26678878) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000
    dl = 91.4238500003301m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.26677443--1.26678878) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000
    dr = 91.4238500003301m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40268162--1.40263368) × cos(-1.26677443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299360070953427 × 6371000
    do = 91.4322711973429m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40268162--1.40263368) × cos(-1.26678878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.299346379010534 × 6371000
    du = 91.4280893255529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.26677443)-sin(-1.26678878))×
    abs(λ12)×abs(0.299360070953427-0.299346379010534)×
    abs(-1.40263368--1.40268162)×1.36919428925242e-05×
    4.79399999999686e-05×1.36919428925242e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36919428925242e-05×40589641000000
    ar = 8358.89908586737m²