Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36271 / 38608
↖ ↑ ↗
← S 30.524413°
E 19.242554°		 ← 526.14 m → S 30.524413°
E 19.248047°		 →
↑
526.18 m
↓
↑
526.18 m
↓
S 30.529145°
E 19.242554°		 ← 526.11 m →
276 838 m²		 S 30.529145°
E 19.248047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553459167480469 y=0.589118957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553459167480469 × 216)
    floor (0.553459167480469 × 65536)
    floor (36271.5)     		tx = 36271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589118957519531 × 216)
    floor (0.589118957519531 × 65536)
    floor (38608.5)     		ty = 38608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36271 / 38608 ti = "16/36271/38608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36271/38608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36271 ÷ 216
    36271 ÷ 65536     		x = 0.553451538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38608 ÷ 216
    38608 ÷ 65536     		y = 0.589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553451538085938 × 2 - 1) × π
    0.106903076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33584592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.17822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.559902987562256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33584592} λ = 0.33584592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559902987562256))-π/2
    2×atan(0.57126448092059)-π/2
    2×0.51902240650453-π/2
    1.03804481300906-1.57079632675     		φ = -0.53275151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33584592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.242554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53275151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.524413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36271 KachelY 38608 0.33584592 -0.53275151 19.242554 -30.524413
    Oben rechts KachelX + 1 36272 KachelY 38608 0.33594179 -0.53275151 19.248047 -30.524413
    Unten links KachelX 36271 KachelY + 1 38609 0.33584592 -0.53283410 19.242554 -30.529145
    Unten rechts KachelX + 1 36272 KachelY + 1 38609 0.33594179 -0.53283410 19.248047 -30.529145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53275151--0.53283410) × R
    8.25899999999935e-05 × 6371000     		dl = 526.180889999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53275151--0.53283410) × R
    8.25899999999935e-05 × 6371000     		dr = 526.180889999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33584592-0.33594179) × cos(-0.53275151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861412826155277 × 6371000     		do = 526.140419136768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33584592-0.33594179) × cos(-0.53283410) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861370875306575 × 6371000     		du = 526.11479607144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53275151)-sin(-0.53283410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861412826155277-0.861370875306575)×R²
    abs(0.33594179-0.33584592)×4.19508487021769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19508487021769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19508487021769e-05×40589641000000     		ar = 276838.292980137m²