Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36269 / 105162
↖ ↑ ↗
← S 72.979231°
W 80.384216°		 ← 89.40 m → S 72.979231°
W 80.381469°		 →
↑
89.39 m
↓
↑
89.39 m
↓
S 72.980034°
W 80.384216°		 ← 89.40 m →
7 991 m²		 S 72.980034°
W 80.381469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276714324951172 y=0.802326202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276714324951172 × 217)
    floor (0.276714324951172 × 131072)
    floor (36269.5)     		tx = 36269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802326202392578 × 217)
    floor (0.802326202392578 × 131072)
    floor (105162.5)     		ty = 105162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36269 / 105162 ti = "17/36269/105162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36269/105162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36269 ÷ 217
    36269 ÷ 131072     		x = 0.276710510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105162 ÷ 217
    105162 ÷ 131072     		y = 0.802322387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276710510253906 × 2 - 1) × π
    -0.446578979492188 × 3.1415926535     		Λ = -1.40296924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802322387695312 × 2 - 1) × π
    -0.604644775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89954758434435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40296924} λ = -1.40296924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89954758434435))-π/2
    2×atan(0.149636301716722)-π/2
    2×0.148534233503062-π/2
    0.297068467006124-1.57079632675     		φ = -1.27372786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40296924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.384216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27372786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.979231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36269 KachelY 105162 -1.40296924 -1.27372786 -80.384216 -72.979231
    Oben rechts KachelX + 1 36270 KachelY 105162 -1.40292130 -1.27372786 -80.381469 -72.979231
    Unten links KachelX 36269 KachelY + 1 105163 -1.40296924 -1.27374189 -80.384216 -72.980034
    Unten rechts KachelX + 1 36270 KachelY + 1 105163 -1.40292130 -1.27374189 -80.381469 -72.980034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27372786--1.27374189) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dl = 89.3851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27372786--1.27374189) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dr = 89.3851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40296924--1.40292130) × cos(-1.27372786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292718340200048 × 6371000     		do = 89.4037156671129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40296924--1.40292130) × cos(-1.27374189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292704924703336 × 6371000     		du = 89.399618229102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27372786)-sin(-1.27374189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292718340200048-0.292704924703336)×R²
    abs(-1.40292130--1.40296924)×1.34154967125211e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34154967125211e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34154967125211e-05×40589641000000     		ar = 7991.17962251354m²