Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36268 / 105164
↖ ↑ ↗
← S 72.980838°
W 80.386963°		 ← 89.40 m → S 72.980838°
W 80.384216°		 →
↑
89.39 m
↓
↑
89.39 m
↓
S 72.981642°
W 80.386963°		 ← 89.39 m →
7 990 m²		 S 72.981642°
W 80.384216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276706695556641 y=0.802341461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276706695556641 × 217)
    floor (0.276706695556641 × 131072)
    floor (36268.5)     		tx = 36268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802341461181641 × 217)
    floor (0.802341461181641 × 131072)
    floor (105164.5)     		ty = 105164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36268 / 105164 ti = "17/36268/105164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36268/105164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36268 ÷ 217
    36268 ÷ 131072     		x = 0.276702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105164 ÷ 217
    105164 ÷ 131072     		y = 0.802337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.44659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40301718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802337646484375 × 2 - 1) × π
    -0.60467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89964345814359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40301718} λ = -1.40301718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89964345814359))-π/2
    2×atan(0.149621956203662)-π/2
    2×0.148520202136531-π/2
    0.297040404273063-1.57079632675     		φ = -1.27375592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40301718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.386963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27375592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.980838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36268 KachelY 105164 -1.40301718 -1.27375592 -80.386963 -72.980838
    Oben rechts KachelX + 1 36269 KachelY 105164 -1.40296924 -1.27375592 -80.384216 -72.980838
    Unten links KachelX 36268 KachelY + 1 105165 -1.40301718 -1.27376995 -80.386963 -72.981642
    Unten rechts KachelX + 1 36269 KachelY + 1 105165 -1.40296924 -1.27376995 -80.384216 -72.981642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27375592--1.27376995) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dl = 89.3851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27375592--1.27376995) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dr = 89.3851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40301718--1.40296924) × cos(-1.27375592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292691509149007 × 6371000     		do = 89.3955207734936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40301718--1.40296924) × cos(-1.27376995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292678093537064 × 6371000     		du = 89.3914233002885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27375592)-sin(-1.27376995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292691509149007-0.292678093537064)×R²
    abs(-1.40296924--1.40301718)×1.34156119425133e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34156119425133e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34156119425133e-05×40589641000000     		ar = 7990.44711934818m²