Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36267 / 48445
↖ ↑ ↗
← S 64.916557°
E 19.220581°		 ← 258.96 m → S 64.916557°
E 19.226074°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
S 64.918885°
E 19.220581°		 ← 258.94 m →
67 047 m²		 S 64.918885°
E 19.226074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553398132324219 y=0.739219665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553398132324219 × 216)
    floor (0.553398132324219 × 65536)
    floor (36267.5)     		tx = 36267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739219665527344 × 216)
    floor (0.739219665527344 × 65536)
    floor (48445.5)     		ty = 48445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36267 / 48445 ti = "16/36267/48445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36267/48445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36267 ÷ 216
    36267 ÷ 65536     		x = 0.553390502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48445 ÷ 216
    48445 ÷ 65536     		y = 0.739212036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553390502929688 × 2 - 1) × π
    0.106781005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.33546242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739212036132812 × 2 - 1) × π
    -0.478424072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50301355068724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33546242} λ = 0.33546242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50301355068724))-π/2
    2×atan(0.222458758260891)-π/2
    2×0.218894339511128-π/2
    0.437788679022255-1.57079632675     		φ = -1.13300765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33546242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.220581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13300765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.916557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36267 KachelY 48445 0.33546242 -1.13300765 19.220581 -64.916557
    Oben rechts KachelX + 1 36268 KachelY 48445 0.33555830 -1.13300765 19.226074 -64.916557
    Unten links KachelX 36267 KachelY + 1 48446 0.33546242 -1.13304829 19.220581 -64.918885
    Unten rechts KachelX + 1 36268 KachelY + 1 48446 0.33555830 -1.13304829 19.226074 -64.918885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13300765--1.13304829) × R
    4.06400000001472e-05 × 6371000     		dl = 258.917440000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13300765--1.13304829) × R
    4.06400000001472e-05 × 6371000     		dr = 258.917440000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33546242-0.33555830) × cos(-1.13300765) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423937726937831 × 6371000     		do = 258.96298792779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33546242-0.33555830) × cos(-1.13304829) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423900919291686 × 6371000     		du = 258.940503922667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13300765)-sin(-1.13304829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423937726937831-0.423900919291686)×R²
    abs(0.33555830-0.33546242)×3.68076461447209e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68076461447209e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68076461447209e-05×40589641000000     		ar = 67047.1231478366m²