Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36264 / 38616
↖ ↑ ↗
← S 30.562261°
E 19.204101°		 ← 525.99 m → S 30.562261°
E 19.209595°		 →
↑
525.93 m
↓
↑
525.93 m
↓
S 30.566991°
E 19.204101°		 ← 525.96 m →
276 625 m²		 S 30.566991°
E 19.209595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553352355957031 y=0.589241027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553352355957031 × 216)
    floor (0.553352355957031 × 65536)
    floor (36264.5)     		tx = 36264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589241027832031 × 216)
    floor (0.589241027832031 × 65536)
    floor (38616.5)     		ty = 38616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36264 / 38616 ti = "16/36264/38616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36264/38616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36264 ÷ 216
    36264 ÷ 65536     		x = 0.5533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38616 ÷ 216
    38616 ÷ 65536     		y = 0.5892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5533447265625 × 2 - 1) × π
    0.106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33517480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5892333984375 × 2 - 1) × π
    -0.178466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.560669977956177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33517480} λ = 0.33517480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560669977956177))-π/2
    2×atan(0.57082649453848)-π/2
    2×0.518692123184394-π/2
    1.03738424636879-1.57079632675     		φ = -0.53341208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33517480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.204101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53341208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.562261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36264 KachelY 38616 0.33517480 -0.53341208 19.204101 -30.562261
    Oben rechts KachelX + 1 36265 KachelY 38616 0.33527068 -0.53341208 19.209595 -30.562261
    Unten links KachelX 36264 KachelY + 1 38617 0.33517480 -0.53349463 19.204101 -30.566991
    Unten rechts KachelX + 1 36265 KachelY + 1 38617 0.33527068 -0.53349463 19.209595 -30.566991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53341208--0.53349463) × R
    8.25500000000146e-05 × 6371000     		dl = 525.926050000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53341208--0.53349463) × R
    8.25500000000146e-05 × 6371000     		dr = 525.926050000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33517480-0.33527068) × cos(-0.53341208) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.861077131138744 × 6371000     		do = 525.990239950216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33517480-0.33527068) × cos(-0.53349463) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.861035153646512 × 6371000     		du = 525.964597936959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53341208)-sin(-0.53349463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861077131138744-0.861035153646512)×R²
    abs(0.33527068-0.33517480)×4.19774922320038e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.19774922320038e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.19774922320038e-05×40589641000000     		ar = 276625.226491362m²