Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36262 / 105187
↖ ↑ ↗
← S 72.999319°
W 80.403442°		 ← 89.30 m → S 72.999319°
W 80.400696°		 →
↑
89.26 m
↓
↑
89.26 m
↓
S 73.000121°
W 80.403442°		 ← 89.30 m →
7 971 m²		 S 73.000121°
W 80.400696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276660919189453 y=0.802516937255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276660919189453 × 217)
    floor (0.276660919189453 × 131072)
    floor (36262.5)     		tx = 36262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802516937255859 × 217)
    floor (0.802516937255859 × 131072)
    floor (105187.5)     		ty = 105187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36262 / 105187 ti = "17/36262/105187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36262/105187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36262 ÷ 217
    36262 ÷ 131072     		x = 0.276657104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105187 ÷ 217
    105187 ÷ 131072     		y = 0.802513122558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276657104492188 × 2 - 1) × π
    -0.446685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40330480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802513122558594 × 2 - 1) × π
    -0.605026245117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.90074600683485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40330480} λ = -1.40330480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90074600683485))-π/2
    2×atan(0.149457081619496)-π/2
    2×0.148358933845151-π/2
    0.296717867690303-1.57079632675     		φ = -1.27407846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40330480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.403442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27407846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.999319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36262 KachelY 105187 -1.40330480 -1.27407846 -80.403442 -72.999319
    Oben rechts KachelX + 1 36263 KachelY 105187 -1.40325686 -1.27407846 -80.400696 -72.999319
    Unten links KachelX 36262 KachelY + 1 105188 -1.40330480 -1.27409247 -80.403442 -73.000121
    Unten rechts KachelX + 1 36263 KachelY + 1 105188 -1.40325686 -1.27409247 -80.400696 -73.000121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27407846--1.27409247) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dl = 89.257710000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27407846--1.27409247) × R
    1.40100000001198e-05 × 6371000     		dr = 89.257710000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40330480--1.40325686) × cos(-1.27407846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292383078948613 × 6371000     		do = 89.3013182512999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40330480--1.40325686) × cos(-1.27409247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292369681139008 × 6371000     		du = 89.2972262153869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27407846)-sin(-1.27409247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292383078948613-0.292369681139008)×R²
    abs(-1.40325686--1.40330480)×1.33978096050758e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33978096050758e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33978096050758e-05×40589641000000     		ar = 7970.64854438613m²