Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36261 / 105188
↖ ↑ ↗
← S 73.000121°
W 80.406189°		 ← 89.30 m → S 73.000121°
W 80.403442°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 73.000925°
W 80.406189°		 ← 89.29 m →
7 976 m²		 S 73.000925°
W 80.403442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276653289794922 y=0.802524566650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276653289794922 × 217)
    floor (0.276653289794922 × 131072)
    floor (36261.5)     		tx = 36261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802524566650391 × 217)
    floor (0.802524566650391 × 131072)
    floor (105188.5)     		ty = 105188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36261 / 105188 ti = "17/36261/105188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36261/105188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36261 ÷ 217
    36261 ÷ 131072     		x = 0.276649475097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105188 ÷ 217
    105188 ÷ 131072     		y = 0.802520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276649475097656 × 2 - 1) × π
    -0.446701049804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.40335274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.60504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90079394373447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40335274} λ = -1.40335274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90079394373447))-π/2
    2×atan(0.149449917282097)-π/2
    2×0.148351926036606-π/2
    0.296703852073211-1.57079632675     		φ = -1.27409247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40335274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.406189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27409247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.000121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36261 KachelY 105188 -1.40335274 -1.27409247 -80.406189 -73.000121
    Oben rechts KachelX + 1 36262 KachelY 105188 -1.40330480 -1.27409247 -80.403442 -73.000121
    Unten links KachelX 36261 KachelY + 1 105189 -1.40335274 -1.27410649 -80.406189 -73.000925
    Unten rechts KachelX + 1 36262 KachelY + 1 105189 -1.40330480 -1.27410649 -80.403442 -73.000925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27409247--1.27410649) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27409247--1.27410649) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40335274--1.40330480) × cos(-1.27409247) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.292369681139008 × 6371000     		do = 89.2972262158005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40335274--1.40330480) × cos(-1.27410649) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.292356273708922 × 6371000     		du = 89.293131241545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27409247)-sin(-1.27410649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292369681139008-0.292356273708922)×R²
    abs(-1.40330480--1.40335274)×1.34074300860987e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.34074300860987e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.34074300860987e-05×40589641000000     		ar = 7975.97216341807m²