Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3626 / 5110
↖ ↑ ↗
← S 40.647304°
W 20.654297°		 ← 3 707.60 m → S 40.647304°
W 20.610351°		 →
↑
3 706.65 m
↓
↑
3 706.65 m
↓
S 40.680638°
W 20.654297°		 ← 3 705.74 m →
13 739 319 m²		 S 40.680638°
W 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44268798828125 y=0.62384033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44268798828125 × 213)
    floor (0.44268798828125 × 8192)
    floor (3626.5)     		tx = 3626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62384033203125 × 213)
    floor (0.62384033203125 × 8192)
    floor (5110.5)     		ty = 5110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3626 / 5110 ti = "13/3626/5110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3626/5110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3626 ÷ 213
    3626 ÷ 8192     		x = 0.442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5110 ÷ 213
    5110 ÷ 8192     		y = 0.623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623779296875 × 2 - 1) × π
    -0.24755859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.777728259435791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36048549} λ = -0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.777728259435791))-π/2
    2×atan(0.459448574604279)-π/2
    2×0.430683523794062-π/2
    0.861367047588124-1.57079632675     		φ = -0.70942928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70942928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.647304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3626 KachelY 5110 -0.36048549 -0.70942928 -20.654297 -40.647304
    Oben rechts KachelX + 1 3627 KachelY 5110 -0.35971849 -0.70942928 -20.610351 -40.647304
    Unten links KachelX 3626 KachelY + 1 5111 -0.36048549 -0.71001108 -20.654297 -40.680638
    Unten rechts KachelX + 1 3627 KachelY + 1 5111 -0.35971849 -0.71001108 -20.610351 -40.680638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70942928--0.71001108) × R
    0.000581799999999966 × 6371000     		dl = 3706.64779999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70942928--0.71001108) × R
    0.000581799999999966 × 6371000     		dr = 3706.64779999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36048549--0.35971849) × cos(-0.70942928) × R
    0.000767000000000018 × 0.758733767032798 × 6371000     		do = 3707.59580043058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36048549--0.35971849) × cos(-0.71001108) × R
    0.000767000000000018 × 0.758354653625775 × 6371000     		du = 3705.74324115769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70942928)-sin(-0.71001108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758733767032798-0.758354653625775)×R²
    abs(-0.35971849--0.36048549)×0.000379113407023679×R²
    0.000767000000000018×0.000379113407023679×6371000²
    0.000767000000000018×0.000379113407023679×40589641000000     		ar = 13739318.8121314m²