Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3626 / 2629
↖ ↑ ↗
← N 76.491179°
W100.327148°		 ← 570.74 m → N 76.491179°
W100.305176°		 →
↑
570.84 m
↓
↑
570.84 m
↓
N 76.486046°
W100.327148°		 ← 570.95 m →
325 862 m²		 N 76.486046°
W100.305176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221343994140625 y=0.160491943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221343994140625 × 214)
    floor (0.221343994140625 × 16384)
    floor (3626.5)     		tx = 3626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160491943359375 × 214)
    floor (0.160491943359375 × 16384)
    floor (2629.5)     		ty = 2629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3626 / 2629 ti = "14/3626/2629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3626/2629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3626 ÷ 214
    3626 ÷ 16384     		x = 0.2213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2629 ÷ 214
    2629 ÷ 16384     		y = 0.16046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.557373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75103907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16046142578125 × 2 - 1) × π
    0.6790771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13338378069098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75103907} λ = -1.75103907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13338378069098))-π/2
    2×atan(8.44338910465141)-π/2
    2×1.45290962686558-π/2
    2.90581925373116-1.57079632675     		φ = 1.33502293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75103907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.327148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33502293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.491179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3626 KachelY 2629 -1.75103907 1.33502293 -100.327148 76.491179
    Oben rechts KachelX + 1 3627 KachelY 2629 -1.75065557 1.33502293 -100.305176 76.491179
    Unten links KachelX 3626 KachelY + 1 2630 -1.75103907 1.33493333 -100.327148 76.486046
    Unten rechts KachelX + 1 3627 KachelY + 1 2630 -1.75065557 1.33493333 -100.305176 76.486046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33502293-1.33493333) × R
    8.9600000000134e-05 × 6371000     		dl = 570.841600000854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33502293-1.33493333) × R
    8.9600000000134e-05 × 6371000     		dr = 570.841600000854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75103907--1.75065557) × cos(1.33502293) × R
    0.000383500000000092 × 0.233595055275362 × 6371000     		do = 570.737776260741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75103907--1.75065557) × cos(1.33493333) × R
    0.000383500000000092 × 0.233682175461332 × 6371000     		du = 570.950635138036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33502293)-sin(1.33493333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233595055275362-0.233682175461332)×R²
    abs(-1.75065557--1.75103907)×8.71201859694026e-05×R²
    0.000383500000000092×8.71201859694026e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.71201859694026e-05×40589641000000     		ar = 325861.619951105m²