Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3626 / 1774
↖ ↑ ↗
← N 70.873492°
W 20.654297°		 ← 1 601.11 m → N 70.873492°
W 20.610351°		 →
↑
1 601.67 m
↓
↑
1 601.67 m
↓
N 70.859087°
W 20.654297°		 ← 1 602.27 m →
2 565 371 m²		 N 70.859087°
W 20.610351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44268798828125 y=0.21661376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44268798828125 × 213)
    floor (0.44268798828125 × 8192)
    floor (3626.5)     		tx = 3626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21661376953125 × 213)
    floor (0.21661376953125 × 8192)
    floor (1774.5)     		ty = 1774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3626 / 1774 ti = "13/3626/1774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3626/1774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3626 ÷ 213
    3626 ÷ 8192     		x = 0.442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1774 ÷ 213
    1774 ÷ 8192     		y = 0.216552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216552734375 × 2 - 1) × π
    0.56689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78095169468433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36048549} λ = -0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78095169468433))-π/2
    2×atan(5.93550251767863)-π/2
    2×1.40388605134149-π/2
    2.80777210268299-1.57079632675     		φ = 1.23697578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23697578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.873492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3626 KachelY 1774 -0.36048549 1.23697578 -20.654297 70.873492
    Oben rechts KachelX + 1 3627 KachelY 1774 -0.35971849 1.23697578 -20.610351 70.873492
    Unten links KachelX 3626 KachelY + 1 1775 -0.36048549 1.23672438 -20.654297 70.859087
    Unten rechts KachelX + 1 3627 KachelY + 1 1775 -0.35971849 1.23672438 -20.610351 70.859087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23697578-1.23672438) × R
    0.000251400000000013 × 6371000     		dl = 1601.66940000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23697578-1.23672438) × R
    0.000251400000000013 × 6371000     		dr = 1601.66940000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36048549--0.35971849) × cos(1.23697578) × R
    0.000767000000000018 × 0.32765505368854 × 6371000     		do = 1601.10509618715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36048549--0.35971849) × cos(1.23672438) × R
    0.000767000000000018 × 0.327892565403332 × 6371000     		du = 1602.26571071965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23697578)-sin(1.23672438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32765505368854-0.327892565403332)×R²
    abs(-0.35971849--0.36048549)×0.000237511714792138×R²
    0.000767000000000018×0.000237511714792138×6371000²
    0.000767000000000018×0.000237511714792138×40589641000000     		ar = 2565370.51264985m²