Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36259 / 48441
↖ ↑ ↗
← S 64.907240°
E 19.176636°		 ← 259.05 m → S 64.907240°
E 19.182129°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
S 64.909569°
E 19.176636°		 ← 259.03 m →
67 103 m²		 S 64.909569°
E 19.182129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553276062011719 y=0.739158630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553276062011719 × 216)
    floor (0.553276062011719 × 65536)
    floor (36259.5)     		tx = 36259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739158630371094 × 216)
    floor (0.739158630371094 × 65536)
    floor (48441.5)     		ty = 48441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36259 / 48441 ti = "16/36259/48441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36259/48441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36259 ÷ 216
    36259 ÷ 65536     		x = 0.553268432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48441 ÷ 216
    48441 ÷ 65536     		y = 0.739151000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553268432617188 × 2 - 1) × π
    0.106536865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.33469543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739151000976562 × 2 - 1) × π
    -0.478302001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50263005549028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33469543} λ = 0.33469543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50263005549028))-π/2
    2×atan(0.222544086486642)-π/2
    2×0.218975642670828-π/2
    0.437951285341655-1.57079632675     		φ = -1.13284504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33469543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.176636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13284504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.907240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36259 KachelY 48441 0.33469543 -1.13284504 19.176636 -64.907240
    Oben rechts KachelX + 1 36260 KachelY 48441 0.33479131 -1.13284504 19.182129 -64.907240
    Unten links KachelX 36259 KachelY + 1 48442 0.33469543 -1.13288570 19.176636 -64.909569
    Unten rechts KachelX + 1 36260 KachelY + 1 48442 0.33479131 -1.13288570 19.182129 -64.909569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13284504--1.13288570) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dl = 259.044860000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13284504--1.13288570) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dr = 259.044860000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33469543-0.33479131) × cos(-1.13284504) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.424084995801125 × 6371000     		do = 259.052947330891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33469543-0.33479131) × cos(-1.13288570) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.424048172844133 × 6371000     		du = 259.030453973115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13284504)-sin(-1.13288570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424084995801125-0.424048172844133)×R²
    abs(0.33479131-0.33469543)×3.68229569923106e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68229569923106e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68229569923106e-05×40589641000000     		ar = 67103.4210888267m²