Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36258 / 105166
↖ ↑ ↗
← S 72.982446°
W 80.414429°		 ← 89.39 m → S 72.982446°
W 80.411682°		 →
↑
89.39 m
↓
↑
89.39 m
↓
S 72.983250°
W 80.414429°		 ← 89.38 m →
7 990 m²		 S 72.983250°
W 80.411682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276630401611328 y=0.802356719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276630401611328 × 217)
    floor (0.276630401611328 × 131072)
    floor (36258.5)     		tx = 36258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802356719970703 × 217)
    floor (0.802356719970703 × 131072)
    floor (105166.5)     		ty = 105166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36258 / 105166 ti = "17/36258/105166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36258/105166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36258 ÷ 217
    36258 ÷ 131072     		x = 0.276626586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105166 ÷ 217
    105166 ÷ 131072     		y = 0.802352905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276626586914062 × 2 - 1) × π
    -0.446746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40349655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802352905273438 × 2 - 1) × π
    -0.604705810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89973933194283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40349655} λ = -1.40349655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89973933194283))-π/2
    2×atan(0.149607612065896)-π/2
    2×0.14850617205627-π/2
    0.29701234411254-1.57079632675     		φ = -1.27378398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40349655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.414429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27378398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.982446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36258 KachelY 105166 -1.40349655 -1.27378398 -80.414429 -72.982446
    Oben rechts KachelX + 1 36259 KachelY 105166 -1.40344861 -1.27378398 -80.411682 -72.982446
    Unten links KachelX 36258 KachelY + 1 105167 -1.40349655 -1.27379801 -80.414429 -72.983250
    Unten rechts KachelX + 1 36259 KachelY + 1 105167 -1.40344861 -1.27379801 -80.411682 -72.983250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27378398--1.27379801) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dl = 89.3851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27378398--1.27379801) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dr = 89.3851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40349655--1.40344861) × cos(-1.27378398) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292664677867511 × 6371000     		do = 89.3873258094875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40349655--1.40344861) × cos(-1.27379801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292651262140349 × 6371000     		du = 89.3832283010914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27378398)-sin(-1.27379801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292664677867511-0.292651262140349)×R²
    abs(-1.40344861--1.40349655)×1.34157271619584e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34157271619584e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34157271619584e-05×40589641000000     		ar = 7989.71460970177m²