Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36258 / 105120
↖ ↑ ↗
← S 72.945431°
W 80.414429°		 ← 89.58 m → S 72.945431°
W 80.411682°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
S 72.946237°
W 80.414429°		 ← 89.57 m →
8 024 m²		 S 72.946237°
W 80.411682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276630401611328 y=0.802005767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276630401611328 × 217)
    floor (0.276630401611328 × 131072)
    floor (36258.5)     		tx = 36258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802005767822266 × 217)
    floor (0.802005767822266 × 131072)
    floor (105120.5)     		ty = 105120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36258 / 105120 ti = "17/36258/105120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36258/105120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36258 ÷ 217
    36258 ÷ 131072     		x = 0.276626586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105120 ÷ 217
    105120 ÷ 131072     		y = 0.802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276626586914062 × 2 - 1) × π
    -0.446746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40349655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.60400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8975342345603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40349655} λ = -1.40349655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8975342345603))-π/2
    2×atan(0.149937875417269)-π/2
    2×0.148829189517722-π/2
    0.297658379035444-1.57079632675     		φ = -1.27313795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40349655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.414429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27313795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.945431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36258 KachelY 105120 -1.40349655 -1.27313795 -80.414429 -72.945431
    Oben rechts KachelX + 1 36259 KachelY 105120 -1.40344861 -1.27313795 -80.411682 -72.945431
    Unten links KachelX 36258 KachelY + 1 105121 -1.40349655 -1.27315201 -80.414429 -72.946237
    Unten rechts KachelX + 1 36259 KachelY + 1 105121 -1.40344861 -1.27315201 -80.411682 -72.946237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27313795--1.27315201) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27313795--1.27315201) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40349655--1.40344861) × cos(-1.27313795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29328236041636 × 6371000     		do = 89.5759819590546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40349655--1.40344861) × cos(-1.27315201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293268918663691 × 6371000     		du = 89.5718765017989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27313795)-sin(-1.27315201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29328236041636-0.293268918663691)×R²
    abs(-1.40344861--1.40349655)×1.3441752668597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3441752668597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3441752668597e-05×40589641000000     		ar = 8023.69757398913m²