Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36257 / 105119
↖ ↑ ↗
← S 72.944626°
W 80.417175°		 ← 89.56 m → S 72.944626°
W 80.414429°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
S 72.945431°
W 80.417175°		 ← 89.56 m →
8 022 m²		 S 72.945431°
W 80.414429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276622772216797 y=0.801998138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276622772216797 × 217)
    floor (0.276622772216797 × 131072)
    floor (36257.5)     		tx = 36257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801998138427734 × 217)
    floor (0.801998138427734 × 131072)
    floor (105119.5)     		ty = 105119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36257 / 105119 ti = "17/36257/105119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36257/105119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36257 ÷ 217
    36257 ÷ 131072     		x = 0.276618957519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105119 ÷ 217
    105119 ÷ 131072     		y = 0.801994323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276618957519531 × 2 - 1) × π
    -0.446762084960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.40354448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801994323730469 × 2 - 1) × π
    -0.603988647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.89748629766068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40354448} λ = -1.40354448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89748629766068))-π/2
    2×atan(0.14994506314643)-π/2
    2×0.148836219202389-π/2
    0.297672438404779-1.57079632675     		φ = -1.27312389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40354448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.417175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27312389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.944626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36257 KachelY 105119 -1.40354448 -1.27312389 -80.417175 -72.944626
    Oben rechts KachelX + 1 36258 KachelY 105119 -1.40349655 -1.27312389 -80.414429 -72.944626
    Unten links KachelX 36257 KachelY + 1 105120 -1.40354448 -1.27313795 -80.417175 -72.945431
    Unten rechts KachelX + 1 36258 KachelY + 1 105120 -1.40349655 -1.27313795 -80.414429 -72.945431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27312389--1.27313795) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27312389--1.27313795) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40354448--1.40349655) × cos(-1.27312389) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293295802111051 × 6371000     		do = 89.5614015231636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40354448--1.40349655) × cos(-1.27313795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29328236041636 × 6371000     		du = 89.557296939986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27312389)-sin(-1.27313795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293295802111051-0.29328236041636)×R²
    abs(-1.40349655--1.40354448)×1.34416946914739e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34416946914739e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34416946914739e-05×40589641000000     		ar = 8022.39155237102m²