Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36255 / 105122
↖ ↑ ↗
← S 72.947042°
W 80.422669°		 ← 89.57 m → S 72.947042°
W 80.419922°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
S 72.947847°
W 80.422669°		 ← 89.56 m →
8 023 m²		 S 72.947847°
W 80.419922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276607513427734 y=0.802021026611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276607513427734 × 217)
    floor (0.276607513427734 × 131072)
    floor (36255.5)     		tx = 36255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802021026611328 × 217)
    floor (0.802021026611328 × 131072)
    floor (105122.5)     		ty = 105122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36255 / 105122 ti = "17/36255/105122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36255/105122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36255 ÷ 217
    36255 ÷ 131072     		x = 0.276603698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105122 ÷ 217
    105122 ÷ 131072     		y = 0.802017211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276603698730469 × 2 - 1) × π
    -0.446792602539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.40364036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802017211914062 × 2 - 1) × π
    -0.604034423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89763010835954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40364036} λ = -1.40364036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89763010835954))-π/2
    2×atan(0.149923500992579)-π/2
    2×0.148815131114841-π/2
    0.297630262229682-1.57079632675     		φ = -1.27316606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40364036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.422669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27316606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.947042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36255 KachelY 105122 -1.40364036 -1.27316606 -80.422669 -72.947042
    Oben rechts KachelX + 1 36256 KachelY 105122 -1.40359242 -1.27316606 -80.419922 -72.947042
    Unten links KachelX 36255 KachelY + 1 105123 -1.40364036 -1.27318012 -80.422669 -72.947847
    Unten rechts KachelX + 1 36256 KachelY + 1 105123 -1.40359242 -1.27318012 -80.419922 -72.947847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27316606--1.27318012) × R
    1.40599999998159e-05 × 6371000     		dl = 89.576259998827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27316606--1.27318012) × R
    1.40599999998159e-05 × 6371000     		dr = 89.576259998827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40364036--1.40359242) × cos(-1.27316606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293255486413389 × 6371000     		do = 89.5677739468105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40364036--1.40359242) × cos(-1.27318012) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293242044544816 × 6371000     		du = 89.5636684541545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27316606)-sin(-1.27318012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293255486413389-0.293242044544816)×R²
    abs(-1.40359242--1.40364036)×1.34418685733828e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34418685733828e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34418685733828e-05×40589641000000     		ar = 8022.9623293437m²