Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36250 / 103031
↖ ↑ ↗
← S 71.179781°
W 80.436401°		 ← 98.51 m → S 71.179781°
W 80.433655°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.180667°
W 80.436401°		 ← 98.51 m →
9 709 m²		 S 71.180667°
W 80.433655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276569366455078 y=0.786067962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276569366455078 × 217)
    floor (0.276569366455078 × 131072)
    floor (36250.5)     		tx = 36250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786067962646484 × 217)
    floor (0.786067962646484 × 131072)
    floor (103031.5)     		ty = 103031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36250 / 103031 ti = "17/36250/103031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36250/103031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36250 ÷ 217
    36250 ÷ 131072     		x = 0.276565551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103031 ÷ 217
    103031 ÷ 131072     		y = 0.786064147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276565551757812 × 2 - 1) × π
    -0.446868896484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40388004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786064147949219 × 2 - 1) × π
    -0.572128295898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.79739405125401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40388004} λ = -1.40388004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79739405125401))-π/2
    2×atan(0.165730210409728)-π/2
    2×0.164237392652799-π/2
    0.328474785305598-1.57079632675     		φ = -1.24232154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40388004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.436401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24232154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.179781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36250 KachelY 103031 -1.40388004 -1.24232154 -80.436401 -71.179781
    Oben rechts KachelX + 1 36251 KachelY 103031 -1.40383211 -1.24232154 -80.433655 -71.179781
    Unten links KachelX 36250 KachelY + 1 103032 -1.40388004 -1.24233701 -80.436401 -71.180667
    Unten rechts KachelX + 1 36251 KachelY + 1 103032 -1.40383211 -1.24233701 -80.433655 -71.180667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24232154--1.24233701) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dl = 98.5593699994036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24232154--1.24233701) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dr = 98.5593699994036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40388004--1.40383211) × cos(-1.24232154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322599735772792 × 6371000     		do = 98.5097101931036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40388004--1.40383211) × cos(-1.24233701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32258509283035 × 6371000     		du = 98.5052387944745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24232154)-sin(-1.24233701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322599735772792-0.32258509283035)×R²
    abs(-1.40383211--1.40388004)×1.46429424412453e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46429424412453e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46429424412453e-05×40589641000000     		ar = 9708.83462651474m²