Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3625 / 2601
↖ ↑ ↗
← N 76.634147°
W100.349121°		 ← 564.79 m → N 76.634147°
W100.327148°		 →
↑
564.92 m
↓
↑
564.92 m
↓
N 76.629067°
W100.349121°		 ← 565 m →
319 121 m²		 N 76.629067°
W100.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221282958984375 y=0.158782958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221282958984375 × 214)
    floor (0.221282958984375 × 16384)
    floor (3625.5)     		tx = 3625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158782958984375 × 214)
    floor (0.158782958984375 × 16384)
    floor (2601.5)     		ty = 2601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3625 / 2601 ti = "14/3625/2601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3625/2601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3625 ÷ 214
    3625 ÷ 16384     		x = 0.22125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2601 ÷ 214
    2601 ÷ 16384     		y = 0.15875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.5574951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75142256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15875244140625 × 2 - 1) × π
    0.6824951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14412164620587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75142256} λ = -1.75142256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14412164620587))-π/2
    2×atan(8.53454159711459)-π/2
    2×1.45415725726291-π/2
    2.90831451452583-1.57079632675     		φ = 1.33751819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75142256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33751819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.634147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3625 KachelY 2601 -1.75142256 1.33751819 -100.349121 76.634147
    Oben rechts KachelX + 1 3626 KachelY 2601 -1.75103907 1.33751819 -100.327148 76.634147
    Unten links KachelX 3625 KachelY + 1 2602 -1.75142256 1.33742952 -100.349121 76.629067
    Unten rechts KachelX + 1 3626 KachelY + 1 2602 -1.75103907 1.33742952 -100.327148 76.629067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33751819-1.33742952) × R
    8.86700000000129e-05 × 6371000     		dl = 564.916570000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33751819-1.33742952) × R
    8.86700000000129e-05 × 6371000     		dr = 564.916570000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75142256--1.75103907) × cos(1.33751819) × R
    0.000383489999999931 × 0.231168104511231 × 6371000     		do = 564.793331918003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75142256--1.75103907) × cos(1.33742952) × R
    0.000383489999999931 × 0.23125437187106 × 6371000     		du = 565.004101607432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33751819)-sin(1.33742952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231168104511231-0.23125437187106)×R²
    abs(-1.75103907--1.75142256)×8.62673598294172e-05×R²
    0.000383489999999931×8.62673598294172e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.62673598294172e-05×40589641000000     		ar = 319120.64568134m²