Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36248 / 103034
↖ ↑ ↗
← S 71.182439°
W 80.441895°		 ← 98.52 m → S 71.182439°
W 80.439148°		 →
↑
98.50 m
↓
↑
98.50 m
↓
S 71.183325°
W 80.441895°		 ← 98.51 m →
9 703 m²		 S 71.183325°
W 80.439148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276554107666016 y=0.786090850830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276554107666016 × 217)
    floor (0.276554107666016 × 131072)
    floor (36248.5)     		tx = 36248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786090850830078 × 217)
    floor (0.786090850830078 × 131072)
    floor (103034.5)     		ty = 103034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36248 / 103034 ti = "17/36248/103034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36248/103034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36248 ÷ 217
    36248 ÷ 131072     		x = 0.27655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103034 ÷ 217
    103034 ÷ 131072     		y = 0.786087036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.4468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40397592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786087036132812 × 2 - 1) × π
    -0.572174072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79753786195287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40397592} λ = -1.40397592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79753786195287))-π/2
    2×atan(0.165706378346041)-π/2
    2×0.164214197584896-π/2
    0.328428395169792-1.57079632675     		φ = -1.24236793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40397592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.441895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24236793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.182439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36248 KachelY 103034 -1.40397592 -1.24236793 -80.441895 -71.182439
    Oben rechts KachelX + 1 36249 KachelY 103034 -1.40392798 -1.24236793 -80.439148 -71.182439
    Unten links KachelX 36248 KachelY + 1 103035 -1.40397592 -1.24238339 -80.441895 -71.183325
    Unten rechts KachelX + 1 36249 KachelY + 1 103035 -1.40392798 -1.24238339 -80.439148 -71.183325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24236793--1.24238339) × R
    1.54600000001892e-05 × 6371000     		dl = 98.4956600012055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24236793--1.24238339) × R
    1.54600000001892e-05 × 6371000     		dr = 98.4956600012055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40397592--1.40392798) × cos(-1.24236793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322555825644876 × 6371000     		do = 98.5168517388327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40397592--1.40392798) × cos(-1.24238339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322541191936495 × 6371000     		du = 98.5123822276215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24236793)-sin(-1.24238339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322555825644876-0.322541191936495)×R²
    abs(-1.40392798--1.40397592)×1.46337083809511e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46337083809511e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46337083809511e-05×40589641000000     		ar = 9703.26221953157m²