Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36247 / 105174
↖ ↑ ↗
← S 72.988876°
W 80.444641°		 ← 89.34 m → S 72.988876°
W 80.441895°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
S 72.989679°
W 80.444641°		 ← 89.33 m →
7 979 m²		 S 72.989679°
W 80.441895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276546478271484 y=0.802417755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276546478271484 × 217)
    floor (0.276546478271484 × 131072)
    floor (36247.5)     		tx = 36247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802417755126953 × 217)
    floor (0.802417755126953 × 131072)
    floor (105174.5)     		ty = 105174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36247 / 105174 ti = "17/36247/105174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36247/105174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36247 ÷ 217
    36247 ÷ 131072     		x = 0.276542663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105174 ÷ 217
    105174 ÷ 131072     		y = 0.802413940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276542663574219 × 2 - 1) × π
    -0.446914672851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.40402385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802413940429688 × 2 - 1) × π
    -0.604827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90012282713979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40402385} λ = -1.40402385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90012282713979))-π/2
    2×atan(0.149550249265122)-π/2
    2×0.14845006459578-π/2
    0.29690012919156-1.57079632675     		φ = -1.27389620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40402385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.444641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27389620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.988876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36247 KachelY 105174 -1.40402385 -1.27389620 -80.444641 -72.988876
    Oben rechts KachelX + 1 36248 KachelY 105174 -1.40397592 -1.27389620 -80.441895 -72.988876
    Unten links KachelX 36247 KachelY + 1 105175 -1.40402385 -1.27391022 -80.444641 -72.989679
    Unten rechts KachelX + 1 36248 KachelY + 1 105175 -1.40397592 -1.27391022 -80.441895 -72.989679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27389620--1.27391022) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dl = 89.3214200003758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27389620--1.27391022) × R
    1.4020000000059e-05 × 6371000     		dr = 89.3214200003758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40402385--1.40397592) × cos(-1.27389620) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292557369562362 × 6371000     		do = 89.3359122610778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40402385--1.40397592) × cos(-1.27391022) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292543962937031 × 6371000     		du = 89.3318183867512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27389620)-sin(-1.27391022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292557369562362-0.292543962937031)×R²
    abs(-1.40397592--1.40402385)×1.34066253310583e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34066253310583e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34066253310583e-05×40589641000000     		ar = 7979.42770501178m²