Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36246 / 103030
↖ ↑ ↗
← S 71.178895°
W 80.447388°		 ← 98.53 m → S 71.178895°
W 80.444641°		 →
↑
98.50 m
↓
↑
98.50 m
↓
S 71.179781°
W 80.447388°		 ← 98.53 m →
9 705 m²		 S 71.179781°
W 80.444641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276538848876953 y=0.786060333251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276538848876953 × 217)
    floor (0.276538848876953 × 131072)
    floor (36246.5)     		tx = 36246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786060333251953 × 217)
    floor (0.786060333251953 × 131072)
    floor (103030.5)     		ty = 103030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36246 / 103030 ti = "17/36246/103030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36246/103030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36246 ÷ 217
    36246 ÷ 131072     		x = 0.276535034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103030 ÷ 217
    103030 ÷ 131072     		y = 0.786056518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276535034179688 × 2 - 1) × π
    -0.446929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40407179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786056518554688 × 2 - 1) × π
    -0.572113037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79734611435439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40407179} λ = -1.40407179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79734611435439))-π/2
    2×atan(0.165738155192611)-π/2
    2×0.164245125043764-π/2
    0.328490250087527-1.57079632675     		φ = -1.24230608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40407179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.447388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24230608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.178895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36246 KachelY 103030 -1.40407179 -1.24230608 -80.447388 -71.178895
    Oben rechts KachelX + 1 36247 KachelY 103030 -1.40402385 -1.24230608 -80.444641 -71.178895
    Unten links KachelX 36246 KachelY + 1 103031 -1.40407179 -1.24232154 -80.447388 -71.179781
    Unten rechts KachelX + 1 36247 KachelY + 1 103031 -1.40402385 -1.24232154 -80.444641 -71.179781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24230608--1.24232154) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dl = 98.4956599997908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24230608--1.24232154) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dr = 98.4956599997908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40407179--1.40402385) × cos(-1.24230608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322614369172723 × 6371000     		do = 98.5347324391476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40407179--1.40402385) × cos(-1.24232154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322599735772792 × 6371000     		du = 98.5302630221448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24230608)-sin(-1.24232154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322614369172723-0.322599735772792)×R²
    abs(-1.40402385--1.40407179)×1.46333999315185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46333999315185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46333999315185e-05×40589641000000     		ar = 9705.02339557945m²