Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36245 / 103037
↖ ↑ ↗
← S 71.185097°
W 80.450134°		 ← 98.50 m → S 71.185097°
W 80.447388°		 →
↑
98.50 m
↓
↑
98.50 m
↓
S 71.185983°
W 80.450134°		 ← 98.50 m →
9 702 m²		 S 71.185983°
W 80.447388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276531219482422 y=0.786113739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276531219482422 × 217)
    floor (0.276531219482422 × 131072)
    floor (36245.5)     		tx = 36245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786113739013672 × 217)
    floor (0.786113739013672 × 131072)
    floor (103037.5)     		ty = 103037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36245 / 103037 ti = "17/36245/103037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36245/103037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36245 ÷ 217
    36245 ÷ 131072     		x = 0.276527404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103037 ÷ 217
    103037 ÷ 131072     		y = 0.786109924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276527404785156 × 2 - 1) × π
    -0.446945190429688 × 3.1415926535     		Λ = -1.40411973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786109924316406 × 2 - 1) × π
    -0.572219848632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.79768167265173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40411973} λ = -1.40411973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79768167265173))-π/2
    2×atan(0.165682549709413)-π/2
    2×0.164191005674186-π/2
    0.328382011348372-1.57079632675     		φ = -1.24241432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40411973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.450134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24241432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.185097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36245 KachelY 103037 -1.40411973 -1.24241432 -80.450134 -71.185097
    Oben rechts KachelX + 1 36246 KachelY 103037 -1.40407179 -1.24241432 -80.447388 -71.185097
    Unten links KachelX 36245 KachelY + 1 103038 -1.40411973 -1.24242978 -80.450134 -71.185983
    Unten rechts KachelX + 1 36246 KachelY + 1 103038 -1.40407179 -1.24242978 -80.447388 -71.185983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24241432--1.24242978) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dl = 98.4956599997908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24241432--1.24242978) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dr = 98.4956599997908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40411973--1.40407179) × cos(-1.24241432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32251191482281 × 6371000     		do = 98.5034402435091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40411973--1.40407179) × cos(-1.24242978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322497280883117 × 6371000     		du = 98.4989706616491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24241432)-sin(-1.24242978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32251191482281-0.322497280883117)×R²
    abs(-1.40407179--1.40411973)×1.46339396933648e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46339396933648e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46339396933648e-05×40589641000000     		ar = 9701.94124200834m²