Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36244 / 103017
↖ ↑ ↗
← S 71.167372°
W 80.452881°		 ← 98.57 m → S 71.167372°
W 80.450134°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.168259°
W 80.452881°		 ← 98.57 m →
9 715 m²		 S 71.168259°
W 80.450134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276523590087891 y=0.785961151123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276523590087891 × 217)
    floor (0.276523590087891 × 131072)
    floor (36244.5)     		tx = 36244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785961151123047 × 217)
    floor (0.785961151123047 × 131072)
    floor (103017.5)     		ty = 103017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36244 / 103017 ti = "17/36244/103017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36244/103017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36244 ÷ 217
    36244 ÷ 131072     		x = 0.276519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103017 ÷ 217
    103017 ÷ 131072     		y = 0.785957336425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.44696044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40416766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785957336425781 × 2 - 1) × π
    -0.571914672851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.79672293465932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40416766} λ = -1.40416766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79672293465932))-π/2
    2×atan(0.16584147203476)-π/2
    2×0.164345678059273-π/2
    0.328691356118546-1.57079632675     		φ = -1.24210497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40416766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.452881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24210497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.167372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36244 KachelY 103017 -1.40416766 -1.24210497 -80.452881 -71.167372
    Oben rechts KachelX + 1 36245 KachelY 103017 -1.40411973 -1.24210497 -80.450134 -71.167372
    Unten links KachelX 36244 KachelY + 1 103018 -1.40416766 -1.24212044 -80.452881 -71.168259
    Unten rechts KachelX + 1 36245 KachelY + 1 103018 -1.40411973 -1.24212044 -80.450134 -71.168259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24210497--1.24212044) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dl = 98.5593700008183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24210497--1.24212044) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dr = 98.5593700008183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40416766--1.40411973) × cos(-1.24210497) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32280471939421 × 6371000     		do = 98.5723044078566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40416766--1.40411973) × cos(-1.24212044) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322790077532905 × 6371000     		du = 98.5678333393657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24210497)-sin(-1.24212044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32280471939421-0.322790077532905)×R²
    abs(-1.40411973--1.40416766)×1.46418613044541e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46418613044541e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46418613044541e-05×40589641000000     		ar = 9715.00388927089m²