Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36243 / 103043
↖ ↑ ↗
← S 71.190411°
W 80.455627°		 ← 98.48 m → S 71.190411°
W 80.452881°		 →
↑
98.50 m
↓
↑
98.50 m
↓
S 71.191296°
W 80.455627°		 ← 98.47 m →
9 699 m²		 S 71.191296°
W 80.452881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276515960693359 y=0.786159515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276515960693359 × 217)
    floor (0.276515960693359 × 131072)
    floor (36243.5)     		tx = 36243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786159515380859 × 217)
    floor (0.786159515380859 × 131072)
    floor (103043.5)     		ty = 103043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36243 / 103043 ti = "17/36243/103043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36243/103043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36243 ÷ 217
    36243 ÷ 131072     		x = 0.276512145996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103043 ÷ 217
    103043 ÷ 131072     		y = 0.786155700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276512145996094 × 2 - 1) × π
    -0.446975708007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.40421560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786155700683594 × 2 - 1) × π
    -0.572311401367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.79796929404945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40421560} λ = -1.40421560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79796929404945))-π/2
    2×atan(0.165634902715364)-π/2
    2×0.164144631322823-π/2
    0.328289262645647-1.57079632675     		φ = -1.24250706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40421560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.455627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24250706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.190411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36243 KachelY 103043 -1.40421560 -1.24250706 -80.455627 -71.190411
    Oben rechts KachelX + 1 36244 KachelY 103043 -1.40416766 -1.24250706 -80.452881 -71.190411
    Unten links KachelX 36243 KachelY + 1 103044 -1.40421560 -1.24252252 -80.455627 -71.191296
    Unten rechts KachelX + 1 36244 KachelY + 1 103044 -1.40416766 -1.24252252 -80.452881 -71.191296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24250706--1.24252252) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dl = 98.4956599997908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24250706--1.24252252) × R
    1.54599999999672e-05 × 6371000     		dr = 98.4956599997908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40421560--1.40416766) × cos(-1.24250706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322424128960417 × 6371000     		do = 98.4766281815261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40421560--1.40416766) × cos(-1.24252252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322409494558392 × 6371000     		du = 98.4721584584583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24250706)-sin(-1.24252252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322424128960417-0.322409494558392)×R²
    abs(-1.40416766--1.40421560)×1.46344020247602e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46344020247602e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46344020247602e-05×40589641000000     		ar = 9699.30036324664m²