Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36242 / 38542
↖ ↑ ↗
← S 30.211608°
E 19.083252°		 ← 527.83 m → S 30.211608°
E 19.088745°		 →
↑
527.84 m
↓
↑
527.84 m
↓
S 30.216355°
E 19.083252°		 ← 527.80 m →
278 600 m²		 S 30.216355°
E 19.088745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553016662597656 y=0.588111877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553016662597656 × 216)
    floor (0.553016662597656 × 65536)
    floor (36242.5)     		tx = 36242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588111877441406 × 216)
    floor (0.588111877441406 × 65536)
    floor (38542.5)     		ty = 38542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36242 / 38542 ti = "16/36242/38542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36242/38542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36242 ÷ 216
    36242 ÷ 65536     		x = 0.553009033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38542 ÷ 216
    38542 ÷ 65536     		y = 0.588104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553009033203125 × 2 - 1) × π
    0.10601806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33306558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.17620849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.553575316812408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33306558} λ = 0.33306558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553575316812408))-π/2
    2×atan(0.574890715175801)-π/2
    2×0.521752145490184-π/2
    1.04350429098037-1.57079632675     		φ = -0.52729204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33306558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.083252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52729204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.211608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36242 KachelY 38542 0.33306558 -0.52729204 19.083252 -30.211608
    Oben rechts KachelX + 1 36243 KachelY 38542 0.33316145 -0.52729204 19.088745 -30.211608
    Unten links KachelX 36242 KachelY + 1 38543 0.33306558 -0.52737489 19.083252 -30.216355
    Unten rechts KachelX + 1 36243 KachelY + 1 38543 0.33316145 -0.52737489 19.088745 -30.216355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52729204--0.52737489) × R
    8.28500000000787e-05 × 6371000     		dl = 527.837350000501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52729204--0.52737489) × R
    8.28500000000787e-05 × 6371000     		dr = 527.837350000501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33306558-0.33316145) × cos(-0.52729204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864172869407675 × 6371000     		do = 527.826219800003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33306558-0.33316145) × cos(-0.52737489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864131176732476 × 6371000     		du = 527.800754423894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52729204)-sin(-0.52737489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864172869407675-0.864131176732476)×R²
    abs(0.33316145-0.33306558)×4.16926751986013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16926751986013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16926751986013e-05×40589641000000     		ar = 278599.672491198m²