Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36242 / 103046
↖ ↑ ↗
← S 71.193067°
W 80.458374°		 ← 98.46 m → S 71.193067°
W 80.455627°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
S 71.193953°
W 80.458374°		 ← 98.46 m →
9 692 m²		 S 71.193953°
W 80.455627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276508331298828 y=0.786182403564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276508331298828 × 217)
    floor (0.276508331298828 × 131072)
    floor (36242.5)     		tx = 36242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786182403564453 × 217)
    floor (0.786182403564453 × 131072)
    floor (103046.5)     		ty = 103046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36242 / 103046 ti = "17/36242/103046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36242/103046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36242 ÷ 217
    36242 ÷ 131072     		x = 0.276504516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103046 ÷ 217
    103046 ÷ 131072     		y = 0.786178588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276504516601562 × 2 - 1) × π
    -0.446990966796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40426354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786178588867188 × 2 - 1) × π
    -0.572357177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79811310474831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40426354} λ = -1.40426354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79811310474831))-π/2
    2×atan(0.165611084356957)-π/2
    2×0.164121448881411-π/2
    0.328242897762823-1.57079632675     		φ = -1.24255343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40426354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.458374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24255343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.193067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36242 KachelY 103046 -1.40426354 -1.24255343 -80.458374 -71.193067
    Oben rechts KachelX + 1 36243 KachelY 103046 -1.40421560 -1.24255343 -80.455627 -71.193067
    Unten links KachelX 36242 KachelY + 1 103047 -1.40426354 -1.24256888 -80.458374 -71.193953
    Unten rechts KachelX + 1 36243 KachelY + 1 103047 -1.40421560 -1.24256888 -80.455627 -71.193953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24255343--1.24256888) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24255343--1.24256888) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40426354--1.40421560) × cos(-1.24255343) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.32238023498927 × 6371000     		do = 98.4632218333631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40426354--1.40421560) × cos(-1.24256888) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.322365609822279 × 6371000     		du = 98.4587549309122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24255343)-sin(-1.24256888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32238023498927-0.322365609822279)×R²
    abs(-1.40421560--1.40426354)×1.46251669908559e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.46251669908559e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.46251669908559e-05×40589641000000     		ar = 9691.70708548304m²