Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36241 / 38547
↖ ↑ ↗
← S 30.235340°
E 19.077759°		 ← 527.75 m → S 30.235340°
E 19.083252°		 →
↑
527.71 m
↓
↑
527.71 m
↓
S 30.240086°
E 19.077759°		 ← 527.73 m →
278 494 m²		 S 30.240086°
E 19.083252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553001403808594 y=0.588188171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553001403808594 × 216)
    floor (0.553001403808594 × 65536)
    floor (36241.5)     		tx = 36241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588188171386719 × 216)
    floor (0.588188171386719 × 65536)
    floor (38547.5)     		ty = 38547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36241 / 38547 ti = "16/36241/38547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36241/38547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36241 ÷ 216
    36241 ÷ 65536     		x = 0.552993774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38547 ÷ 216
    38547 ÷ 65536     		y = 0.588180541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552993774414062 × 2 - 1) × π
    0.105987548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33296970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588180541992188 × 2 - 1) × π
    -0.176361083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.554054685808609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33296970} λ = 0.33296970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.554054685808609))-π/2
    2×atan(0.57461519643359)-π/2
    2×0.521545041634523-π/2
    1.04309008326905-1.57079632675     		φ = -0.52770624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33296970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.077759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52770624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.235340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36241 KachelY 38547 0.33296970 -0.52770624 19.077759 -30.235340
    Oben rechts KachelX + 1 36242 KachelY 38547 0.33306558 -0.52770624 19.083252 -30.235340
    Unten links KachelX 36241 KachelY + 1 38548 0.33296970 -0.52778907 19.077759 -30.240086
    Unten rechts KachelX + 1 36242 KachelY + 1 38548 0.33306558 -0.52778907 19.083252 -30.240086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52770624--0.52778907) × R
    8.28299999999782e-05 × 6371000     		dl = 527.709929999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52770624--0.52778907) × R
    8.28299999999782e-05 × 6371000     		dr = 527.709929999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33296970-0.33306558) × cos(-0.52770624) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.86396437189717 × 6371000     		do = 527.753915240922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33296970-0.33306558) × cos(-0.52778907) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.863922659643392 × 6371000     		du = 527.728435248967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52770624)-sin(-0.52778907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86396437189717-0.863922659643392)×R²
    abs(0.33306558-0.33296970)×4.17122537781367e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.17122537781367e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.17122537781367e-05×40589641000000     		ar = 278494.258805902m²