Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36241 / 104593
↖ ↑ ↗
← S 72.515756°
W 80.461120°		 ← 91.74 m → S 72.515756°
W 80.458374°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
S 72.516582°
W 80.461120°		 ← 91.74 m →
8 422 m²		 S 72.516582°
W 80.458374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276500701904297 y=0.797985076904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276500701904297 × 217)
    floor (0.276500701904297 × 131072)
    floor (36241.5)     		tx = 36241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797985076904297 × 217)
    floor (0.797985076904297 × 131072)
    floor (104593.5)     		ty = 104593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36241 / 104593 ti = "17/36241/104593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36241/104593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36241 ÷ 217
    36241 ÷ 131072     		x = 0.276496887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104593 ÷ 217
    104593 ÷ 131072     		y = 0.797981262207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276496887207031 × 2 - 1) × π
    -0.447006225585938 × 3.1415926535     		Λ = -1.40431147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797981262207031 × 2 - 1) × π
    -0.595962524414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.87227148846053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40431147} λ = -1.40431147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87227148846053))-π/2
    2×atan(0.15377396900777)-π/2
    2×0.152578811805597-π/2
    0.305157623611193-1.57079632675     		φ = -1.26563870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40431147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.461120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26563870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.515756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36241 KachelY 104593 -1.40431147 -1.26563870 -80.461120 -72.515756
    Oben rechts KachelX + 1 36242 KachelY 104593 -1.40426354 -1.26563870 -80.458374 -72.515756
    Unten links KachelX 36241 KachelY + 1 104594 -1.40431147 -1.26565311 -80.461120 -72.516582
    Unten rechts KachelX + 1 36242 KachelY + 1 104594 -1.40426354 -1.26565311 -80.458374 -72.516582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26563870--1.26565311) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dl = 91.8061099994216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26563870--1.26565311) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dr = 91.8061099994216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40431147--1.40426354) × cos(-1.26563870) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.300443523316021 × 6371000     		do = 91.7440441797636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40431147--1.40426354) × cos(-1.26565311) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.300429779032499 × 6371000     		du = 91.7398471974465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26563870)-sin(-1.26565311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300443523316021-0.300429779032499)×R²
    abs(-1.40426354--1.40431147)×1.37442835219104e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.37442835219104e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.37442835219104e-05×40589641000000     		ar = 8422.47115776595m²