Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36240 / 104599
↖ ↑ ↗
← S 72.520707°
W 80.463867°		 ← 91.74 m → S 72.520707°
W 80.461120°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
S 72.521531°
W 80.463867°		 ← 91.73 m →
8 410 m²		 S 72.521531°
W 80.461120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276493072509766 y=0.798030853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276493072509766 × 217)
    floor (0.276493072509766 × 131072)
    floor (36240.5)     		tx = 36240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798030853271484 × 217)
    floor (0.798030853271484 × 131072)
    floor (104599.5)     		ty = 104599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36240 / 104599 ti = "17/36240/104599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36240/104599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36240 ÷ 217
    36240 ÷ 131072     		x = 0.2764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104599 ÷ 217
    104599 ÷ 131072     		y = 0.798027038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40435941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798027038574219 × 2 - 1) × π
    -0.596054077148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.87255910985825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40435941} λ = -1.40435941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87255910985825))-π/2
    2×atan(0.153729746683819)-π/2
    2×0.152535610739045-π/2
    0.30507122147809-1.57079632675     		φ = -1.26572511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40435941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26572511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.520707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36240 KachelY 104599 -1.40435941 -1.26572511 -80.463867 -72.520707
    Oben rechts KachelX + 1 36241 KachelY 104599 -1.40431147 -1.26572511 -80.461120 -72.520707
    Unten links KachelX 36240 KachelY + 1 104600 -1.40435941 -1.26573950 -80.463867 -72.521531
    Unten rechts KachelX + 1 36241 KachelY + 1 104600 -1.40431147 -1.26573950 -80.461120 -72.521531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26572511--1.26573950) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26572511--1.26573950) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40435941--1.40431147) × cos(-1.26572511) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.30036110437047 × 6371000     		do = 91.7380125699327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40435941--1.40431147) × cos(-1.26573950) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.300347378789503 × 6371000     		du = 91.7338204242089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26572511)-sin(-1.26573950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30036110437047-0.300347378789503)×R²
    abs(-1.40431147--1.40435941)×1.37255809670167e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.37255809670167e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.37255809670167e-05×40589641000000     		ar = 8410.22865057291m²