Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36239 / 104597
↖ ↑ ↗
← S 72.519057°
W 80.466614°		 ← 91.75 m → S 72.519057°
W 80.463867°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
S 72.519882°
W 80.466614°		 ← 91.74 m →
8 417 m²		 S 72.519882°
W 80.463867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276485443115234 y=0.798015594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276485443115234 × 217)
    floor (0.276485443115234 × 131072)
    floor (36239.5)     		tx = 36239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798015594482422 × 217)
    floor (0.798015594482422 × 131072)
    floor (104597.5)     		ty = 104597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36239 / 104597 ti = "17/36239/104597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36239/104597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36239 ÷ 217
    36239 ÷ 131072     		x = 0.276481628417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104597 ÷ 217
    104597 ÷ 131072     		y = 0.798011779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276481628417969 × 2 - 1) × π
    -0.447036743164062 × 3.1415926535     		Λ = -1.40440735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798011779785156 × 2 - 1) × π
    -0.596023559570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.87246323605901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40440735} λ = -1.40440735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87246323605901))-π/2
    2×atan(0.153744486045237)-π/2
    2×0.15255000977773-π/2
    0.305100019555461-1.57079632675     		φ = -1.26569631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40440735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.466614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26569631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.519057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36239 KachelY 104597 -1.40440735 -1.26569631 -80.466614 -72.519057
    Oben rechts KachelX + 1 36240 KachelY 104597 -1.40435941 -1.26569631 -80.463867 -72.519057
    Unten links KachelX 36239 KachelY + 1 104598 -1.40440735 -1.26571071 -80.466614 -72.519882
    Unten rechts KachelX + 1 36240 KachelY + 1 104598 -1.40435941 -1.26571071 -80.463867 -72.519882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26569631--1.26571071) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26569631--1.26571071) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40440735--1.40435941) × cos(-1.26569631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30038857442215 × 6371000     		do = 91.74640263037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40440735--1.40435941) × cos(-1.26571071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300374839427453 × 6371000     		du = 91.7422076094507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26569631)-sin(-1.26571071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30038857442215-0.300374839427453)×R²
    abs(-1.40435941--1.40440735)×1.37349946972565e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37349946972565e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37349946972565e-05×40589641000000     		ar = 8416.8427382029m²