Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36238 / 103026
↖ ↑ ↗
← S 71.175350°
W 80.469361°		 ← 98.55 m → S 71.175350°
W 80.466614°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.176237°
W 80.469361°		 ← 98.55 m →
9 713 m²		 S 71.176237°
W 80.466614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276477813720703 y=0.786029815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276477813720703 × 217)
    floor (0.276477813720703 × 131072)
    floor (36238.5)     		tx = 36238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786029815673828 × 217)
    floor (0.786029815673828 × 131072)
    floor (103026.5)     		ty = 103026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36238 / 103026 ti = "17/36238/103026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36238/103026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36238 ÷ 217
    36238 ÷ 131072     		x = 0.276473999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103026 ÷ 217
    103026 ÷ 131072     		y = 0.786026000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276473999023438 × 2 - 1) × π
    -0.447052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40445529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786026000976562 × 2 - 1) × π
    -0.572052001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79715436675591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40445529} λ = -1.40445529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79715436675591))-π/2
    2×atan(0.1657699381329)-π/2
    2×0.164276058116318-π/2
    0.328552116232636-1.57079632675     		φ = -1.24224421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40445529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.469361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24224421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.175350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36238 KachelY 103026 -1.40445529 -1.24224421 -80.469361 -71.175350
    Oben rechts KachelX + 1 36239 KachelY 103026 -1.40440735 -1.24224421 -80.466614 -71.175350
    Unten links KachelX 36238 KachelY + 1 103027 -1.40445529 -1.24225968 -80.469361 -71.176237
    Unten rechts KachelX + 1 36239 KachelY + 1 103027 -1.40440735 -1.24225968 -80.466614 -71.176237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24224421--1.24225968) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dl = 98.5593700008183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24224421--1.24225968) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dr = 98.5593700008183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40445529--1.40440735) × cos(-1.24224421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322672930396645 × 6371000     		do = 98.5526185442991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40445529--1.40440735) × cos(-1.24225968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322658287840163 × 6371000     		du = 98.5481463306502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24224421)-sin(-1.24225968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322672930396645-0.322658287840163)×R²
    abs(-1.40440735--1.40445529)×1.46425564819253e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46425564819253e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46425564819253e-05×40589641000000     		ar = 9713.06360657763m²