Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36235 / 104607
↖ ↑ ↗
← S 72.527305°
W 80.477600°		 ← 91.70 m → S 72.527305°
W 80.474854°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
S 72.528129°
W 80.477600°		 ← 91.70 m →
8 407 m²		 S 72.528129°
W 80.474854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276454925537109 y=0.798091888427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276454925537109 × 217)
    floor (0.276454925537109 × 131072)
    floor (36235.5)     		tx = 36235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798091888427734 × 217)
    floor (0.798091888427734 × 131072)
    floor (104607.5)     		ty = 104607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36235 / 104607 ti = "17/36235/104607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36235/104607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36235 ÷ 217
    36235 ÷ 131072     		x = 0.276451110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104607 ÷ 217
    104607 ÷ 131072     		y = 0.798088073730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276451110839844 × 2 - 1) × π
    -0.447097778320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.40459910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798088073730469 × 2 - 1) × π
    -0.596176147460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.87294260505521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40459910} λ = -1.40459910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87294260505521))-π/2
    2×atan(0.153670803367297)-π/2
    2×0.152478027750087-π/2
    0.304956055500174-1.57079632675     		φ = -1.26584027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40459910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.477600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26584027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.527305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36235 KachelY 104607 -1.40459910 -1.26584027 -80.477600 -72.527305
    Oben rechts KachelX + 1 36236 KachelY 104607 -1.40455116 -1.26584027 -80.474854 -72.527305
    Unten links KachelX 36235 KachelY + 1 104608 -1.40459910 -1.26585466 -80.477600 -72.528129
    Unten rechts KachelX + 1 36236 KachelY + 1 104608 -1.40455116 -1.26585466 -80.474854 -72.528129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26584027--1.26585466) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26584027--1.26585466) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40459910--1.40455116) × cos(-1.26584027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300251259827067 × 6371000     		do = 91.7044632185542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40459910--1.40455116) × cos(-1.26585466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300237533748458 × 6371000     		du = 91.7002709208378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26584027)-sin(-1.26585466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300251259827067-0.300237533748458)×R²
    abs(-1.40455116--1.40459910)×1.37260786087778e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37260786087778e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37260786087778e-05×40589641000000     		ar = 8407.15288316396m²