Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36235 / 104587
↖ ↑ ↗
← S 72.510804°
W 80.477600°		 ← 91.79 m → S 72.510804°
W 80.474854°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
S 72.511629°
W 80.477600°		 ← 91.78 m →
8 421 m²		 S 72.511629°
W 80.474854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276454925537109 y=0.797939300537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276454925537109 × 217)
    floor (0.276454925537109 × 131072)
    floor (36235.5)     		tx = 36235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797939300537109 × 217)
    floor (0.797939300537109 × 131072)
    floor (104587.5)     		ty = 104587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36235 / 104587 ti = "17/36235/104587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36235/104587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36235 ÷ 217
    36235 ÷ 131072     		x = 0.276451110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104587 ÷ 217
    104587 ÷ 131072     		y = 0.797935485839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276451110839844 × 2 - 1) × π
    -0.447097778320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.40459910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797935485839844 × 2 - 1) × π
    -0.595870971679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.87198386706281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40459910} λ = -1.40459910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87198386706281))-π/2
    2×atan(0.153818204052836)-π/2
    2×0.15262202472526-π/2
    0.30524404945052-1.57079632675     		φ = -1.26555228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40459910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.477600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26555228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.510804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36235 KachelY 104587 -1.40459910 -1.26555228 -80.477600 -72.510804
    Oben rechts KachelX + 1 36236 KachelY 104587 -1.40455116 -1.26555228 -80.474854 -72.510804
    Unten links KachelX 36235 KachelY + 1 104588 -1.40459910 -1.26556668 -80.477600 -72.511629
    Unten rechts KachelX + 1 36236 KachelY + 1 104588 -1.40455116 -1.26556668 -80.474854 -72.511629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26555228--1.26556668) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26555228--1.26556668) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40459910--1.40455116) × cos(-1.26555228) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300525949555991 × 6371000     		do = 91.7883605322809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40459910--1.40455116) × cos(-1.26556668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300512215184437 × 6371000     		du = 91.7841657016857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26555228)-sin(-1.26556668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300525949555991-0.300512215184437)×R²
    abs(-1.40455116--1.40459910)×1.37343715535532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37343715535532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37343715535532e-05×40589641000000     		ar = 8420.69206548068m²