Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36234 / 104590
↖ ↑ ↗
← S 72.513280°
W 80.480347°		 ← 91.76 m → S 72.513280°
W 80.477600°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
S 72.514106°
W 80.480347°		 ← 91.75 m →
8 424 m²		 S 72.514106°
W 80.477600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276447296142578 y=0.797962188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276447296142578 × 217)
    floor (0.276447296142578 × 131072)
    floor (36234.5)     		tx = 36234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797962188720703 × 217)
    floor (0.797962188720703 × 131072)
    floor (104590.5)     		ty = 104590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36234 / 104590 ti = "17/36234/104590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36234/104590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36234 ÷ 217
    36234 ÷ 131072     		x = 0.276443481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104590 ÷ 217
    104590 ÷ 131072     		y = 0.797958374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276443481445312 × 2 - 1) × π
    -0.447113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40464703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797958374023438 × 2 - 1) × π
    -0.595916748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87212767776167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40464703} λ = -1.40464703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87212767776167))-π/2
    2×atan(0.153796084939935)-π/2
    2×0.152600416783606-π/2
    0.305200833567212-1.57079632675     		φ = -1.26559549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40464703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.480347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26559549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.513280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36234 KachelY 104590 -1.40464703 -1.26559549 -80.480347 -72.513280
    Oben rechts KachelX + 1 36235 KachelY 104590 -1.40459910 -1.26559549 -80.477600 -72.513280
    Unten links KachelX 36234 KachelY + 1 104591 -1.40464703 -1.26560990 -80.480347 -72.514106
    Unten rechts KachelX + 1 36235 KachelY + 1 104591 -1.40459910 -1.26560990 -80.477600 -72.514106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26559549--1.26560990) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dl = 91.8061100008363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26559549--1.26560990) × R
    1.44100000001313e-05 × 6371000     		dr = 91.8061100008363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40464703--1.40459910) × cos(-1.26559549) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.300484736716524 × 6371000     		do = 91.7566291878295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40464703--1.40459910) × cos(-1.26560990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.300470992620083 × 6371000     		du = 91.7524322626398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26559549)-sin(-1.26560990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300484736716524-0.300470992620083)×R²
    abs(-1.40459910--1.40464703)×1.374409644056e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.374409644056e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.374409644056e-05×40589641000000     		ar = 8423.62654111332m²