Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36233 / 104591
↖ ↑ ↗
← S 72.514106°
W 80.483093°		 ← 91.77 m → S 72.514106°
W 80.480347°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
S 72.514931°
W 80.483093°		 ← 91.77 m →
8 419 m²		 S 72.514931°
W 80.480347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276439666748047 y=0.797969818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276439666748047 × 217)
    floor (0.276439666748047 × 131072)
    floor (36233.5)     		tx = 36233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797969818115234 × 217)
    floor (0.797969818115234 × 131072)
    floor (104591.5)     		ty = 104591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36233 / 104591 ti = "17/36233/104591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36233/104591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36233 ÷ 217
    36233 ÷ 131072     		x = 0.276435852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104591 ÷ 217
    104591 ÷ 131072     		y = 0.797966003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276435852050781 × 2 - 1) × π
    -0.447128295898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.40469497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797966003417969 × 2 - 1) × π
    -0.595932006835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.87217561466129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40469497} λ = -1.40469497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87217561466129))-π/2
    2×atan(0.153788712609154)-π/2
    2×0.152593214794994-π/2
    0.305186429589988-1.57079632675     		φ = -1.26560990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40469497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.483093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26560990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.514106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36233 KachelY 104591 -1.40469497 -1.26560990 -80.483093 -72.514106
    Oben rechts KachelX + 1 36234 KachelY 104591 -1.40464703 -1.26560990 -80.480347 -72.514106
    Unten links KachelX 36233 KachelY + 1 104592 -1.40469497 -1.26562430 -80.483093 -72.514931
    Unten rechts KachelX + 1 36234 KachelY + 1 104592 -1.40464703 -1.26562430 -80.480347 -72.514931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26560990--1.26562430) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26560990--1.26562430) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40469497--1.40464703) × cos(-1.26560990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300470992620083 × 6371000     		do = 91.7715752694633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40469497--1.40464703) × cos(-1.26562430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300457257999204 × 6371000     		du = 91.7673803627175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26560990)-sin(-1.26562430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300470992620083-0.300457257999204)×R²
    abs(-1.40464703--1.40469497)×1.3734620879835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3734620879835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3734620879835e-05×40589641000000     		ar = 8419.15214156419m²