Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36232 / 104584
↖ ↑ ↗
← S 72.508328°
W 80.485840°		 ← 91.80 m → S 72.508328°
W 80.483093°		 →
↑
91.74 m
↓
↑
91.74 m
↓
S 72.509153°
W 80.485840°		 ← 91.80 m →
8 422 m²		 S 72.509153°
W 80.483093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276432037353516 y=0.797916412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276432037353516 × 217)
    floor (0.276432037353516 × 131072)
    floor (36232.5)     		tx = 36232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797916412353516 × 217)
    floor (0.797916412353516 × 131072)
    floor (104584.5)     		ty = 104584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36232 / 104584 ti = "17/36232/104584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36232/104584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36232 ÷ 217
    36232 ÷ 131072     		x = 0.27642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104584 ÷ 217
    104584 ÷ 131072     		y = 0.79791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.4471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40474291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.5958251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87184005636395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40474291} λ = -1.40474291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87184005636395))-π/2
    2×atan(0.153840326346932)-π/2
    2×0.152643635630924-π/2
    0.305287271261848-1.57079632675     		φ = -1.26550906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40474291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.485840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26550906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.508328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36232 KachelY 104584 -1.40474291 -1.26550906 -80.485840 -72.508328
    Oben rechts KachelX + 1 36233 KachelY 104584 -1.40469497 -1.26550906 -80.483093 -72.508328
    Unten links KachelX 36232 KachelY + 1 104585 -1.40474291 -1.26552346 -80.485840 -72.509153
    Unten rechts KachelX + 1 36233 KachelY + 1 104585 -1.40469497 -1.26552346 -80.483093 -72.509153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26550906--1.26552346) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dl = 91.7423999998088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26550906--1.26552346) × R
    1.439999999997e-05 × 6371000     		dr = 91.7423999998088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40474291--1.40469497) × cos(-1.26550906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30056717137195 × 6371000     		do = 91.8009507359246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40474291--1.40469497) × cos(-1.26552346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.300553437187443 × 6371000     		du = 91.7967559624582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26550906)-sin(-1.26552346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30056717137195-0.300553437187443)×R²
    abs(-1.40469497--1.40474291)×1.37341845072303e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37341845072303e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37341845072303e-05×40589641000000     		ar = 8421.84712361855m²