Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36230 / 105240
↖ ↑ ↗
← S 73.041829°
W 80.491333°		 ← 89.08 m → S 73.041829°
W 80.488586°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
S 73.042630°
W 80.491333°		 ← 89.08 m →
7 934 m²		 S 73.042630°
W 80.488586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276416778564453 y=0.802921295166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276416778564453 × 217)
    floor (0.276416778564453 × 131072)
    floor (36230.5)     		tx = 36230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802921295166016 × 217)
    floor (0.802921295166016 × 131072)
    floor (105240.5)     		ty = 105240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36230 / 105240 ti = "17/36230/105240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36230/105240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36230 ÷ 217
    36230 ÷ 131072     		x = 0.276412963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105240 ÷ 217
    105240 ÷ 131072     		y = 0.80291748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276412963867188 × 2 - 1) × π
    -0.447174072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40483878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80291748046875 × 2 - 1) × π
    -0.6058349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90328666251471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40483878} λ = -1.40483878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90328666251471))-π/2
    2×atan(0.149077844595529)-π/2
    2×0.147987962357688-π/2
    0.295975924715375-1.57079632675     		φ = -1.27482040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40483878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.491333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27482040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.041829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36230 KachelY 105240 -1.40483878 -1.27482040 -80.491333 -73.041829
    Oben rechts KachelX + 1 36231 KachelY 105240 -1.40479084 -1.27482040 -80.488586 -73.041829
    Unten links KachelX 36230 KachelY + 1 105241 -1.40483878 -1.27483438 -80.491333 -73.042630
    Unten rechts KachelX + 1 36231 KachelY + 1 105241 -1.40479084 -1.27483438 -80.488586 -73.042630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27482040--1.27483438) × R
    1.3979999999858e-05 × 6371000     		dl = 89.0665799990953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27482040--1.27483438) × R
    1.3979999999858e-05 × 6371000     		dr = 89.0665799990953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40483878--1.40479084) × cos(-1.27482040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291673480368404 × 6371000     		do = 89.0845885798369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40483878--1.40479084) × cos(-1.27483438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291660108219018 × 6371000     		du = 89.0805043812154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27482040)-sin(-1.27483438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291673480368404-0.291660108219018)×R²
    abs(-1.40479084--1.40483878)×1.3372149385682e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3372149385682e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3372149385682e-05×40589641000000     		ar = 7934.27775269287m²