Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3623 / 5107
↖ ↑ ↗
← S 40.547200°
W 20.786133°		 ← 3 713.10 m → S 40.547200°
W 20.742188°		 →
↑
3 712.13 m
↓
↑
3 712.13 m
↓
S 40.580584°
W 20.786133°		 ← 3 711.25 m →
13 780 073 m²		 S 40.580584°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44232177734375 y=0.62347412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44232177734375 × 213)
    floor (0.44232177734375 × 8192)
    floor (3623.5)     		tx = 3623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62347412109375 × 213)
    floor (0.62347412109375 × 8192)
    floor (5107.5)     		ty = 5107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3623 / 5107 ti = "13/3623/5107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3623/5107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3623 ÷ 213
    3623 ÷ 8192     		x = 0.4422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5107 ÷ 213
    5107 ÷ 8192     		y = 0.6234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.115478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36278646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.246826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.775427288254028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36278646} λ = -0.36278646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775427288254028))-π/2
    2×atan(0.460506969735324)-π/2
    2×0.431557090127929-π/2
    0.863114180255858-1.57079632675     		φ = -0.70768215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36278646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.786133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70768215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.547200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3623 KachelY 5107 -0.36278646 -0.70768215 -20.786133 -40.547200
    Oben rechts KachelX + 1 3624 KachelY 5107 -0.36201947 -0.70768215 -20.742188 -40.547200
    Unten links KachelX 3623 KachelY + 1 5108 -0.36278646 -0.70826481 -20.786133 -40.580584
    Unten rechts KachelX + 1 3624 KachelY + 1 5108 -0.36201947 -0.70826481 -20.742188 -40.580584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70768215--0.70826481) × R
    0.000582659999999957 × 6371000     		dl = 3712.12685999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70768215--0.70826481) × R
    0.000582659999999957 × 6371000     		dr = 3712.12685999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36278646--0.36201947) × cos(-0.70768215) × R
    0.000766989999999967 × 0.759870690422234 × 6371000     		do = 3713.10303001575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36278646--0.36201947) × cos(-0.70826481) × R
    0.000766989999999967 × 0.759491789194407 × 6371000     		du = 3711.25153170841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70768215)-sin(-0.70826481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759870690422234-0.759491789194407)×R²
    abs(-0.36201947--0.36278646)×0.000378901227826245×R²
    0.000766989999999967×0.000378901227826245×6371000²
    0.000766989999999967×0.000378901227826245×40589641000000     		ar = 13780073.383221m²